如图,已知点C在线段AB上,以AC和CB为边,在AB的同侧分别作正三角形△AMC和△CNB,连接AN和BM分别交MC、NC于P、G.(1)求证:△MCB≌△ACN;(2)猜想PG和AB的位置关系是怎样的?并证明-数学
题文
如图,已知点C在线段AB上,以AC和CB为边,在AB的同侧分别作正三角形△AMC和△CNB,连接AN和BM分别交MC、NC于P、G. (1)求证:△MCB≌△ACN; (2)猜想PG和AB的位置关系是怎样的?并证明你的结论. |
题文
如图,已知点C在线段AB上,以AC和CB为边,在AB的同侧分别作正三角形△AMC和△CNB,连接AN和BM分别交MC、NC于P、G. (1)求证:△MCB≌△ACN; (2)猜想PG和AB的位置关系是怎样的?并证明你的结论. |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1)证明:∵△AMC和△CNB都为等边三角形, ∴AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠MCB=60°, ∴∠ACM+∠MCN=∠MCB+∠MCN,即∠ACN=∠MCB, 在△ACN和△MCB中, ∵
∴△ACN≌△MCB(SAS); (2)PG∥AB. 证明:∵△ACN≌△MCB, ∴∠ANC=∠MBC, ∵∠ACM=∠MCB=60°, ∴∠PCN=∠GCB=60°, 在△PCN和△GCB中, ∵
∴△PCN≌△GCB(ASA), ∴CP=CG, ∴△PCG为等边三角形, ∴∠PGC=60°,又∠NCB=60°, ∴∠PGC=∠NCB, ∴PG∥AB. |
据专家权威分析,试题“如图,已知点C在线段AB上,以AC和CB为边,在AB的同侧分别作正三角..”主要考查你对 等边三角形,比例的性质 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
等边三角形比例的性质
考点名称:等边三角形
性质:
①等边三角形是锐角三角形,等边三角形的内角都相等,且均为60°。
②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)
③等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点,称为等边三角形的中心。(四心合一)
⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)
判定方法:
①三边相等的三角形是等边三角形(定义)
②三个内角都相等(为60度)的三角形是等边三角形
③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
等边三角形的性质与判定理解:
首先,明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形,也称正三角形。
其次,明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形。
等比三角形的尺规做法:
可以利用尺规作图的方式画出正三角形,其作法相当简单:先用尺画出一条任意长度的线段(这条线段的长度决定等边三角形的边长),再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆,二圆汇交于二点,任选一点,和原来线段的两个端点画线段,则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。
考点名称:比例的性质
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