如图,已知点C在线段AB上,以AC和CB为边,在AB的同侧分别作正三角形△AMC和△CNB,连接AN和BM分别交MC、NC于P、G.(1)求证:△MCB≌△ACN;(2)猜想PG和AB的位置关系是怎样的?并证明-数学

首页 > 考试 > 数学 > 初中数学 > 等边三角形/2020-05-20 / 加入收藏 / 阅读 [打印]

题文

如图,已知点C在线段AB上,以AC和CB为边,在AB的同侧分别作正三角形△AMC和△CNB,连接AN和BM分别交MC、NC于P、G.
(1)求证:△MCB≌△ACN;
(2)猜想PG和AB的位置关系是怎样的?并证明你的结论.

题型:解答题  难度:中档

答案

(1)证明:∵△AMC和△CNB都为等边三角形,
∴AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠MCB=60°,
∴∠ACM+∠MCN=∠MCB+∠MCN,即∠ACN=∠MCB,
在△ACN和△MCB中,

AC=MC
∠ACN=∠MCB
CN=CB

∴△ACN≌△MCB(SAS);

(2)PG∥AB.
证明:∵△ACN≌△MCB,
∴∠ANC=∠MBC,
∵∠ACM=∠MCB=60°,
∴∠PCN=∠GCB=60°,
在△PCN和△GCB中,

∠PNC=∠GBC
NC=BC
∠PCN=∠GCB

∴△PCN≌△GCB(ASA),
∴CP=CG,
∴△PCG为等边三角形,
∴∠PGC=60°,又∠NCB=60°,
∴∠PGC=∠NCB,
∴PG∥AB.

据专家权威分析,试题“如图,已知点C在线段AB上,以AC和CB为边,在AB的同侧分别作正三角..”主要考查你对  等边三角形,比例的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

等边三角形比例的性质

考点名称:等边三角形

  • 等边三角形定义:
    三条边都相等的三角形叫做等边三角形,“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
    如果一个三角形满足下列任意一条,则它必满足另一条,三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形:
    1.三边长度相等;
    2.三个内角度数均为60度;
    3.一个内角为60度的等腰三角形。

  • 性质:
    ①等边三角形是锐角三角形,等边三角形的内角都相等,且均为60°。
    ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)
    ③等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
    ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点,称为等边三角形的中心。(四心合一)
    ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

  • 判定方法:
    ①三边相等的三角形是等边三角形(定义)
    ②三个内角都相等(为60度)的三角形是等边三角形
    ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
    ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
    说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。

    等边三角形的性质与判定理解:
    首先,明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形,也称正三角形。
    其次,明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形。

    等比三角形的尺规做法:
    可以利用尺规作图的方式画出正三角形,其作法相当简单:先用尺画出一条任意长度的线段(这条线段的长度决定等边三角形的边长),再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆,二圆汇交于二点,任选一点,和原来线段的两个端点画线段,则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

考点名称:比例的性质

  • 比例:
    在数学中,比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重,用于反映总体的构成或者结构。两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化。要想判断两个比式子能不能组成比例,要看它们的比例是不是相等。
    比例性质:
    比例的基本性质:组成比例的四个数,叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项。
    在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。a:b=c:d\leftrightarrow ad=bc,则有
    证明:




    2.分比性质:
    在一个比例等式中,第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项的比,等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。
    例:已知a,b,c,d∈C,且有b≠0,d≠0,如果,则有
    证明:


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