题文

如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形 ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF． （1）求证：EB=EF； （2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：∵△ADF为等边三角形， ∴AF=AD，∠FAD=60°（1分） ∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分） ∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分） ∵AE为公共边 ∴△FAE≌△BAE（4分） ∴EF=EB（5分） （2）如图，连接EC．（6分） ∵在等边三角形△ADF中， ∴FD=FA， ∵∠EAD=∠EDA=15°， ∴ED=EA， ∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°．（7分） 由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°． ∵∠FAE=∠BAE=75°， ∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°， ∴BE=BA=6． ∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°， ∴∠GEB=30°， ∵∠ABC=60°， ∴∠GBE=30° ∴GE=GB．（8分） ∵点G是BC的中点， ∴EG=CG ∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°， ∴△CEG为等边三角形， ∴∠CEG=60°， ∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分） ∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2 ∴CE=2 3 ， ∴BC=4 3 （10分）； 解法二：过C作CQ⊥AB于Q， ∵CQ=AB=AD=6， ∵∠ABC=60°， ∴BC=6÷ 3 2 =4 3 ．

据专家权威分析，试题“如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD..”主要考查你对  等边三角形，勾股定理，梯形，梯形的中位线，垂直平分线的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形勾股定理梯形，梯形的中位线垂直平分线的性质

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

考点名称：勾股定理

• 勾股定理:
  直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。
  勾股定理只适用于直角三角形，应用于解决直角三角形中的线段求值问题。

• 定理作用
  ⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。
  ⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。
  ⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。
  ⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

• 勾股定理的应用：
  数学
  从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数。
  勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈，薛生其中央，出水一尺，引薛赴岸，适与岸齐，问水深几何？答曰："一十二尺"。
  
  生活
  勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：
  1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕，也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点：