题文

已知AB是⊙O的弦，且AB=OA，则∠AOB=______度．

题型：填空题  难度：偏易

答案

∵AB=OA=OB，则△AOB是等边三角形，则∠AOB=180°÷3=60°．

据专家权威分析，试题“已知AB是⊙O的弦，且AB=OA，则∠AOB=______度．-数学-”主要考查你对  等边三角形，圆的认识  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形圆的认识

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

考点名称：圆的认识

• 圆的定义：
  圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。
  在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
  
  相关定义:
  1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。
  2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。
  3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。直径所在的直线是圆的对称轴。
  4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。
  5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。
  6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
  7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。
  8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。
  9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
  10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=3.14159265……在实际应用中，一般取π≈3.14。
  11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。
  12 圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但不等于0。
  
  圆的集合定义：
  圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。

• 圆的字母表示：
  以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作O”。
  圆—⊙ ；
  半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）；
  弧—⌒ ；
  直径—d ；
  扇形弧长—L ；                            
  周长—C ；                              
  面积—S。
  
  圆的性质:
  （1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
  圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
  垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
  逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
  （2）有关圆周角和圆心角的性质和定理
  ① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
  ②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。
  直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。
  圆心角计算公式：　θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。
  即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
  ③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
  （3）有关外接圆和内切圆的性质和定理
  ①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；
  ②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
  ③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）。
  ④两相切圆的连心线过切点。（连心线：两个圆心相连的直线）
  ⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
  
  （4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。
  （5）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
  （6）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
  （7）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。
  （8）周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。

• 点、线、圆与圆的位置关系：
  点和圆位置关系
  ①P在圆O外，则 PO>r。
  ②P在圆O上，则 PO=r。
  ③P在圆O内，则 0≤PO<r。
  反过来也是如此。
  
  直线和圆位置关系
  ①直线和圆无公共点，称相离。 AB与圆O相离，d>r。
  ②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交，d<r。
  ③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。（d为圆心到直线的距离）
  
  圆和圆位置关系
  ①无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。
  ②有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。
  ③有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
  设两圆的半径分别为R和r，且R〉r，圆心距为P，则结论：外离P>R+r；外切P=R+r；内含P<R-r；
  内切P=R-r；相交R-r<P<R+r。