如图1,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别EB,CD的中点,易证:CD=BE,△AMN是等边三角形.(1)当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时,CD=BE是否仍然成立?若成立,请证明,若不成立-数学

首页 > 考试 > 数学 > 初中数学 > 等边三角形/2020-05-20 / 加入收藏 / 阅读 [打印]

题文

如图1,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别EB,CD的中点,易证:CD=BE,△AMN是等边三角形.

(1)当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时,CD=BE是否仍然成立?若成立,请证明,若不成立,请说明理由;
(2)当△ADE绕A点旋转到图3的位置时,△AMN是否还是等边三角形?若是,请给出证明,并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比;若不是,请说明理由.
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)CD=BE.理由如下:(1分)
∵△ABC和△ADE为等边三角形,
∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=60°,
∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC,
∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC,
∴∠BAE=∠DAC,(3分)
∴△DAC≌△EAB(SAS),
∴CD=BE.(4分)

(2)△AMN是等边三角形.理由如下:(5分)
∵△ABE≌△ACD,
∴∠ABE=∠ACD
∵M、N分别是BE、CD的中点,
∴BM=
1
2
BE=
1
2
CD=CN,
∵AB=AC,∠ABE=∠ACD,
∴△ABM≌△ACN.
∴AM=AN,∠MAB=∠NAC.(6分)
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°,
∴△AMN是等边三角形.(7分)
设AD=a,则AB=2a.
∵AD=AE=DE,AB=AC,
∴CE=DE.
∵△ADE为等边三角形,
∴∠DEC=120°,∠ADE=60°,
∴∠EDC=∠ECD=30°,
∴∠ADC=90°.(8分)
∴在Rt△ADC中,AD=a,∠ACD=30°,
∴CD=

3
a.
∵N为DC中点,
∴DN=

3
2
a,
∴AN=

DN2+AD2
=

(

3
2
a)2+a2
=

7
2
a.(9分)
∵△ADE,△ABC,△AMN为等边三角形,
∴S△ADE:S△ABC:S△AMN=a2:(2a)2:(

7
2
a)2=1:4:
7
4
=4:16:7(10分)

解法二:△AMN是等边三角形.理由如下:(5分)
∵△ABE≌△ACD,M、N分别是BE、CD的中点,
∴AM=AN,NC=MB.
∵AB=AC,
∴△ABM≌△ACN,
∴∠MAB=∠NAC,
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°,
∴△AMN是等边三角形,(7分)
设AD=a,则AD=AE=DE=a,AB=BC=AC=2a,
易证BE⊥AC,
∴BE=
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