题文

已知如下图所示，在等边△ABC和等边△ADE中，点B、A、D在一条直线上，BE、CD交于F． （1）求证：△BAE≌△CAD． （2）求∠BFC的大小． （3）在图1的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，此时BE交CD的延长线于点F，其他条件不变，得到图2所示的图形，请直接写出（1）、（2）中结论是否仍然成立．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：∵等边△ABC和等边△ADE， ∴AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=60°， ∴∠CAE=60°， ∠BAE=∠CAD=120°， ∴△BAE≌△CAD， （2）∵△BAE≌△CAD， ∴∠ADC=∠AEB， ∵∠BFC=∠ABE+∠ADC， ∴∠BFC=∠ABE+∠AEB， ∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE，∠BAE=120°， ∴∠BFC=60°， （3）成立． ∵等边△ABC和等边△ADE， ∴AE=AD，AC=AB，∠BAE=∠CAD=60°， ∴△BAE≌△CAD， ∵∠CDA=∠AEB， ∴∠ABE+∠BDF=∠ABE+∠CDA=∠ABE+∠AEB， ∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=180°-60°=120°， ∴∠ABE+∠BDF=120°， ∠BFC=180°-（∠ABE+∠BDF）=60°．

据专家权威分析，试题“已知如下图所示，在等边△ABC和等边△ADE中，点B、A、D在一条直线上..”主要考查你对  等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。