题文

已知等边△ABC和三角形内一点P，设点P到△ABC三边的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h． （1）请写出h与h1、h2、h3的关系式，并说明理由； （2）若点P在等边△ABC的边上，仍有上述关系吗？ （3）若点P在三角形外，仍有上述关系吗？若有，请你证明，若没有，请你写出它们新的关系式，并给予证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）连接PA，PB，PC， 则S△ABC=S△PAC+S△PBC+S△PAB， ∴ 1 2 BC?h= 1 2 AB?h1+ 1 2 AC?h2+ 1 2 BC?h3， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC， ∴h=h1+h2+h3； （2）仍有h=h1+h2+h3； 理由：如图：设P在AC上，则h2=0， 连接PB， 则S△ABC=S△PBC+S△PAB， ∴ 1 2 BC?h= 1 2 AB?h1+ 1 2 BC?h3， ∵△ABC是等边三角形， AB=BC=AC， ∴h=h1+h3； 即h=h1+h2+h3； （3）h=h1+h2-h3． 连接PA，PB，PC， 则S△ABC=S△PAC+S△PBC-S△PAB， ∴ 1 2 BC?h= 1 2 AB?h1+ 1 2 AC?h2- 1 2 BC?h3， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC， ∴h=h1+h2-h3．

据专家权威分析，试题“已知等边△ABC和三角形内一点P，设点P到△ABC三边的距离分别为h1、..”主要考查你对  等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形