题文

已知：如图，等边△ABC的边长是4，D是边BC上的一个动点（与点B、C不重合），连接AD，作AD的垂直平分线分别与边AB、AC交于点E、F． （1）求△BDE和△DCF的周长和； （2）设CD长为x，△BDE的周长为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BDE是直角三角形时，求CD的长．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵EF垂直平分AD， ∴AE=DE，AF=DF．（1分） ∴C△BDE+C△CDF=BE+BD+DE+CD+DF+CF=BC+AC+AB．（1分） ∵BC=AC=AB=4， ∴C△BDE+C△CDF=12．（1分） （2）∵CD=x，BC=4， ∴BD=4-x．（1分） ∵DE=AE， ∴C△BDE=AB+BD， 即y=4+4-x=8-x， 所以，y=8-x．（1分） 定义域为0＜x＜4．（1分） （3）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°． ①当∠BED=90°时，∠BDE=30°， ∴BE= 1 2 BD= 1 2 （4-x），DE= 3 2 （4-x）， ∵BE+DE=4， ∴ 1 2 （4-x）+ 3 2 （4-x）=4， 解得x=8-4 3 ．（1分） ②当∠EDB=90°时，∠BED=30°， ∴BE=2BD=2（4-x），DE= 3 （4-x）， ∵BE+DE=4， ∴2（4-x）+ 3 （4-x）=4， 解得x=4 3 -4．（1分） 综上所述，当△BDE是直角三角形时，CD的长为8-4 3 或4 3 -4．（1分）

据专家权威分析，试题“已知：如图，等边△ABC的边长是4，D是边BC上的一个动点（与点B、C不..”主要考查你对  等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）