题文

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°．点D是直线BC上的一个动点，连接AD，并以AD为边在AD的右侧作等边△ADE． （1）如图①，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE的数量关系，并结合图①证明你的结论； （2）当点E不在直线BC上时，连接BE，其它条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请结合图②给予证明；若不成立，请直接写出新的结论； （3）若AC=3，点D在直线BC上移动的过程中，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是梯形？如果存在，直接写出线段CD的长度；如果不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）DE=BE． 理由如下： ∵△ADE为等边三角形， ∴AD=DE=AE，∠AED=60°． ∵∠ABC=30°，∠AED=∠ABC+∠EAB， ∴∠EAB=60°-30°=30°， ∴∠ABC=∠EAB， ∴EB=AE， ∴EB=DE； （2）如图， 过点E作EF⊥AB，垂足为F， 在△ABC中，∠ABC=30°， ∴∠CAB=60°， ∴∠DAE=∠CAB， ∴∠DAE-∠CAE=∠BAC-∠CAE， 则∠CAD=∠EAF． 又∵AD=AE，∠ACD=∠AFE， ∴△ADC≌△AEF， ∴AC=AF． 在△ABC中，∠ABC=30°， ∴AC= 1 2 AB， ∴AF=BF， ∴EA=EB， ∴DE=EB； （3）如图， ∵四边形ACDE是梯形，∠ACD=90°， ∴∠CAE=90°． ∵∠CAE=∠CAD+∠EAD， 又∵在正三角形ADE中，∠EAD=60°， ∴∠CAD=30°． 在直角三角形ACD中，AC=3，∠CAD=30°， 由勾股定理可得CD= 3 ． 同理可得：若点D与点B重合，AC平行DE，此时CD=3 3 ， 综上所述：若AE∥CD，CD= 3 ；若点D与点B重合，此时CD=3 3 ．

据专家权威分析，试题“如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°．点D是直线BC上的一个动点..”主要考查你对  等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。