题文

如图，在直角坐标系中，点B坐标为（-4，0），点C与点B关于原点O对称，点A为y轴上一动点，其坐标为（0，k），BE，CD分别为△ABC中AC，AB边上的高，垂足分别为E，D． （1）当k=-3时，求AB的长； （2）试说明△DOE是等腰三角形； （3）k取何值时，△DOE是等边三角形？（直接写出k的值即可）

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵点B坐标为（-4，0），当k=-3时，A的坐标为（0，-3）， ∴OA=3，OB=4， ∴AB= 32+42 =5； （2）∵点C与点B关于原点O对称， ∴OB=OC， ∵BE是△ABC中AC边上的高， ∴OE= BC 2 ， 同理OD= BC 2 ， ∴OD=OE， ∴△DOE是等腰三角形； （3）当△ABC是锐角三角形，点A在y轴的正半轴时， 若△ODE为等边三角形，则∠DOE=60°， ∵∠BOD=∠COE=60°， ∵OD=OB， ∴∠DBO=60°， ∴∠BAO=30°， ∴AB=2BO=8， ∴OA= AB2-BO2 = 82-42 =4 3 ， ∴k=4 3 ， 当点A在y轴的负半轴时， k=-4 3 ， 如图：当△ABC是钝角三角形时， 若△ODE为等边三角形，则∠DOE=60°， ∵∠BOD=∠COE， ∴∠COE=60°， ∵OE=OB， ∴∠OBE=∠OEB=30°， ∴AB=2AO=2|k|， k2+42=（2k）2， k=± 4 3 3 ； 则k=± 4 3 3 或±4 3 ．

据专家权威分析，试题“如图，在直角坐标系中，点B坐标为（-4，0），点C与点B关于原点O对称..”主要考查你对  等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。