题文

数学课上，李老师出示了如下框中的题目． 小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE______DB（填“＞”，“＜”或“=”）． （2）一般情况，证明结论： 如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你继续完成对以上问题（1）中所填写结论的证明） （3）拓展结论，设计新题： 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为______（请直接写出结果）．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）答案为：=． （2）证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC， ∵EF∥BC， ∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC， ∴AE=AF=EF， ∴AB-AE=AC-AF， 即BE=CF， ∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°， ∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°， ∵ED=EC， ∴∠EDB=∠ECB， ∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE， ∴∠BED=∠FCE， ∴△DBE≌△EFC， ∴DB=EF， ∴AE=BD． （3）①∵AB=1，AE=2，△ABC是等边三角形，B是AE的中点， ∴AB=AC=BC=1，易得，△ACE是Rt△， ∴∠ACE=90°， ∴∠D=∠ECB=30°，∠DBE=∠ABC=60°，即△DEB是直角三角形． ∴BD=2（30°所对的边等于斜边的一半），即CD=1+2=3． 另法：∵EF∥CD ∴∠EFC=∠EBD=180°-60° ∵EC=ED ∴∠D=∠ECD， ∴∠DEB=∠ECF=60°-∠ECD=60°-∠D ∴△EFC≌△EDB ∴EF=BD 又∵∠A=∠AEF ∴AE=2 ∵BC=1 ∴CD=3 ②∵AE=2，BA=BC=1， ∴BE=3，作EF⊥CD交CD于点F，则在Rt△EFB中，∠BEF=90°-60°=30°， ∴BF= 1 2 BE= 1 2 ×（1+3）=1.5， ∴CF=BF-BC=1.5-1=0.5， 而ED=EC，EF⊥CD， ∴DF=CF（三线合一）， ∴CD=2CF=1． 答：CD的长是1或3．

据专家权威分析，试题“数学课上，李老师出示了如下框中的题目．小明与同桌小聪讨论后，进..”主要考查你对  等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。