题文

如图，直角坐标系中，点A的坐标为（a，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞a＞0），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E． （1）求证：OC=AD． （2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由． （3）当C点运动到使OA：AC=1：3时，求出此时D点的坐标．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：∵△AOB和△CBD是等边三角形， ∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°， ∵BC=BD，∠CBD=60°， ∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC， 即∠OBC=∠ABD， 在△OBC和△ABD中， OB=AB，∠OBC=∠ABD，BC=BD， ∴△OBC≌△ABD， ∴OC=AD． （2）E点的位置不会发生变化， ∵△OBC≌△ABD， ∵∠BAD=∠BOC=60°， 又∵∠OAB=60°， ∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°， ∴Rt△OEA中，AE=2OA=2a， ∴OE= 3 a， ∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E（0， 3 a）； （3）作DM⊥y轴， ∵∠MED=30°，OA=a，OA：AC=1：3，AE=2a，AD=OC， ∴ED=6a， ∴MD=3a， ∴EM=3 3 a， ∴OM=2 3 a， ∴D点的坐标为（3a，-2 3 a）．

据专家权威分析，试题“如图，直角坐标系中，点A的坐标为（a，0），以线段OA为边在第四象限..”主要考查你对  等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。