题文

P是等边△ABC内部一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5：6：7，所以PA、PB、PC的长为边的三角形的三个角的大小之比是______．

题型：填空题  难度：中档

答案

如图所示： 将含有PA、PB边的三角形△BPA，以B为轴心，顺时针方向旋转60°， 则将△BPA移到△BDC，△BDC≌△BPA，BP=BD DC=PA，∠BDC=100°， 因为旋转60°，所以△BDP为等边形，等边三角形，三边相等，三角相等都是60°， 给我们解题极大方便，因为PD=PB，△PDC即由， PA、PB、PC构成的三角形∠DPC=120°-60°=60°， ∠PDC=100°-60°=40°， ∠DCP=180°-60°-40°=80°， 40：60：80=2：3：4， （其实这种解题方法思路是十分清晰的，为了把三条分散的射线构成一个三角形， 自然要把PB、PA所在的△PAB，整体移到PC这一边，BA移60°到BC和BC重合，P落到D上． 因为移动60°构成了△PBD为等边形PB=BD=PD，于是△PDC就是PA、PB、PC，构成的三角形， 由于AB=BC，AB与BC重合△ABP≌△BCD，保留了原来已知条件，即BD=BP，DC=PA， ∠BDC=100°移动60°构成的△PBD等边等角， 于是顺理成章的把PB用等长线把PD代替，这样才能构成△PDC，PD=PB，DC=PA， ∴△PDC为PA、PB、PC三条线段构成的三角形． 已知条件∠BPC=120°，仍然保留∠DPC=120°-60°=60°， ∠BDC=100°仍然保留∠PDC=100°-60°=40°， ∠PCD=180°-60°-40°=80°， （40：60：80=2：3：4．）

据专家权威分析，试题“P是等边△ABC内部一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5：6：7，所以..”主要考查你对  等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。