题文

对面积为1的△ABC逐次进行以下操作： 第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△AnBnCn． （1）求面积S1； （2）求面积Sn．

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：连BC1，∵C1A=2CA， ∴=2S△ABC， 同理：=2=4S△ABC， ∴=6S△ABC， 同理：=6S△ABC， ∴=19S△ABC， 即S1=19S0， ∵S0=S△ABC=1， ∴S1=19； （2）同理，S2=19S1=192S0，S3=193S0，∴Sn=19nS0=19n．

据专家权威分析，试题“对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、..”主要考查你对  三角形的周长和面积，看图形找规律  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的周长和面积看图形找规律

考点名称：三角形的周长和面积

• 三角形的概念：
  由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
  
  构成三角形的元素：
  边：组成三角形的线段叫做三角形的边；
  顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；
  内角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
  
  三角形有下面三个特性：
  （1）三角形有三条线段；
  （2）三条线段不在同一直线上；
  （3）首尾顺次相接。
  
  三角形的表示：
  用符号“△，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作ABC”。

• 三角形的分类：
  （1）三角形按边的关系分类如下：
  ；
  （2）三角形按角的关系分类如下：
  
  把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

• 三角形的周长和面积：
  三角形的周长等于三角形三边之和。
  三角形面积=（底×高）÷2。

考点名称：看图形找规律

• 看图形找规律的题目也是比较常见的题目，作这种数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。

• 看图形找规律题步骤：
  ①寻找数量关系；
  ②用代数式表示规律；
  ③验证规律。
  
  解题方法：
  一、基本方法——看增幅
  （一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。
  例：4、10、16、22、28……，求第n位数。
  分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2
  
  （二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。
  基本思路是：
  1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；
  2、求出第1位到第第n位的总增幅；
  3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
  举例说明：2、5、10、17……，求第n位数。
  分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为：
  〔3+（2n-1）〕×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1
  所以，第n位数是：2+ n2-1= n2+1
  此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。
  
  （三）增幅不相等，但是，增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.
  
  （四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。

  二、基本技巧
  （一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
  例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是什么。
  解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较：
  给出的数：0，3，8，15，24，……。
  序列号：   1，2，3， 4， 5，……。