题文

已知：如图，正方形ABCD的边长为2a，H是以BC为直径的半圆O上一点，过H与圆O相切的直线交AB 于E，交CD于F． （1）当点H在半圆上移动时，切线EF在AB、CD上的两个交点也分别在AB、CD上移动（E、A不重合，F、D不重合），试问：四边形AEFD的周长是否也在变化？证明你的结论； （2）设△BOE的面积为S1，△COF的面积为S2，正方形ABCD的面积为S，且S1+S2= 13 48 S，求BE与CF的长．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）由题意知，AB、CD、EF都与半圆相切， ∴EH=EB，FH=CF． ∴四边形AEFD的周长=AE+EH+HF+DF+AD=AE+EB+FC+DF+AD=6a． ∴四边形AEFD的周长是定值，没有变化． （2）∵EO平分∠BEH，FO平分∠CFH， ∴OF⊥EO． ∵∠EOB、∠OFC同为∠FOC的余角，∴∠EOB=∠OFC． 又∠EBO=∠OCF=90°， ∴△EBO∽△OCF． ∴ EB OC = OB CF ，即EB?CF=OC?OB=a2…① ∵S1+S2= 13 48 S， ∴ 1 2 OB?BE+ 1 2 OC?CF= 13 48 ?4a2． 即BE+CF= 13 6 a…② 解①②得BE= 3 2 a，FC= 2 3 a；或BE= 2 3 a，FC= 3 2 a．

据专家权威分析，试题“已知：如图，正方形ABCD的边长为2a，H是以BC为直径的半圆O上一点，..”主要考查你对  三角形的周长和面积，正方形，正方形的性质，正方形的判定，直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离），角平分线的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的周长和面积正方形，正方形的性质，正方形的判定直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）角平分线的性质

考点名称：三角形的周长和面积

• 三角形的概念：
  由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
  
  构成三角形的元素：
  边：组成三角形的线段叫做三角形的边；
  顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；
  内角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
  
  三角形有下面三个特性：
  （1）三角形有三条线段；
  （2）三条线段不在同一直线上；
  （3）首尾顺次相接。
  
  三角形的表示：
  用符号“△，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作ABC”。

• 三角形的分类：
  （1）三角形按边的关系分类如下：
  ；
  （2）三角形按角的关系分类如下：
  
  把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

• 三角形的周长和面积：
  三角形的周长等于三角形三边之和。
  三角形面积=（底×高）÷2。