题文

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，P是斜边AB上的一个动点（不与AB重合），过P分别作PM⊥AC，PN⊥BC，△AMP的面积是S1，△PNB的面积是S2，四边形CMPN的面积是S3，S1+S2与S3之间有怎样的关系？

题型：解答题  难度：中档

答案

S1+S2与S3之间的关系是S1+S2≥S3． 理由是：（1）当P是AB的中点Q时，过Q做QF⊥BC于F，QE⊥AC于E，连接CQ， ∵∠ACB=90°， ∴QF∥AC，QE∥BC， ∴E为AC的中点，F为BC的中点， 根据等底同高的三角形的面积相等，S△AQE=S△CQE，S△CQF=S△BQF， ∴S△AQE+S△BQF=S△CQE+S△CQF， 即：S1+S2=S3． （2）当P不是AB的中点Q时，如图： ∵QF⊥BC，QE⊥AC，PM⊥AC，PN⊥BC， ∴QE∥PM，PN∥QF， ∴ PQ AQ = OP OM ， PQ BP = OQ PN ， ∵AQ=BQ＞BP， ∴ OP OM ＜ OQ PN ， 即：OP?PN＜OQ?OM， ∴S四边形OPNF＜S四边形OQEM， ∴S四边形CNPM＜S四边形CEQF， 即：S3＜ 1 2 S△ABC 而S△ABC=S1+S2+S3， ∴S3＜ 1 2 S△ABC= 1 2 （S1+S2+S3） ∴S3＜S1+S2， 综合上述：S1+S2与S3之间的关系是S1+S2≥S3． 答：S1+S2与S3之间的关系是S1+S2≥S3．

据专家权威分析，试题“如图，Rt△ABC中，∠C=90°，P是斜边AB上的一个动点（不与AB重合），过..”主要考查你对  三角形的周长和面积，比例的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的周长和面积比例的性质

考点名称：三角形的周长和面积

• 三角形的概念：
  由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
  
  构成三角形的元素：
  边：组成三角形的线段叫做三角形的边；
  顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；
  内角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
  
  三角形有下面三个特性：
  （1）三角形有三条线段；
  （2）三条线段不在同一直线上；
  （3）首尾顺次相接。
  
  三角形的表示：
  用符号“△，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作ABC”。

• 三角形的分类：
  （1）三角形按边的关系分类如下：
  ；
  （2）三角形按角的关系分类如下：
  
  把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

• 三角形的周长和面积：
  三角形的周长等于三角形三边之和。
  三角形面积=（底×高）÷2。

考点名称：比例的性质

• 比例：
  在数学中，比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重，用于反映总体的构成或者结构。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。要想判断两个比式子能不能组成比例，要看它们的比例是不是相等。
  比例性质：
  比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。