题文

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=12，AD=4，∠B=60°，点P是腰AB上的一个动点． （1）求BC的长． （2）如图1，如果点M在BC上，BM=12，PM平分梯形ABCD的面积，求出此时PB的长； （3）过点P作直线PM，是否存在PM将梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时PB的长；若不存在，请说明理由；

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）过点A作AE⊥BC，DF⊥BC， ∵∠B=60°，AB=12， ∴sin60°= AE 12 ， ∴AE=6 3 ， ∴BE=6，同理可证：FC=6， ∴BC=BE+EF+FC=6+4+6=16； （2）作△PBM的高PG， ∵等腰梯形ABCD的面积是： 1 2 （AD+BC）?AE= 1 2 ×（4+16）×6 3 =60 3 ∵PM平分梯形ABCD的面积， ∴S△PBM=30 3 ， ∵BM=12， ∴PG=5 3 ， ∵∠B=60°， ∴PB= 5 3 sin60° ， ∴PB=10； （3）当M在BC上时，梯形ABCD的周长是4+12+16+12=44， ∵PB=10，BM=12时PB+BM=22（符合题意）， PB=12，BM=10时 PB+BM=22（符合题意）， 当M在DC上时（舍去）， 当M在AD上（舍去）， 则存在符合题意的直线PM．

据专家权威分析，试题“等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=12，AD=4，∠B=60°，点P是腰AB上的..”主要考查你对  三角形的周长和面积，梯形，梯形的中位线  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的周长和面积梯形，梯形的中位线

考点名称：三角形的周长和面积

• 三角形的概念：
  由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
  
  构成三角形的元素：
  边：组成三角形的线段叫做三角形的边；
  顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；
  内角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
  
  三角形有下面三个特性：
  （1）三角形有三条线段；
  （2）三条线段不在同一直线上；
  （3）首尾顺次相接。
  
  三角形的表示：
  用符号“△，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作ABC”。

• 三角形的分类：
  （1）三角形按边的关系分类如下：
  ；
  （2）三角形按角的关系分类如下：
  
  把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

• 三角形的周长和面积：
  三角形的周长等于三角形三边之和。
  三角形面积=（底×高）÷2。

考点名称：梯形，梯形的中位线

• 梯形的定义：
  一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
  梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形中不平行的两边叫做梯形的腰，梯形的两底的距离叫做梯形的高。
  梯形的中位线：
  连结梯形两腰的中点的线段。 

• 梯形性质：
  ①梯形的上下两底平行；
  ②梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）平行于两底并且等于上下底和的一半。