题文

在凸四边形ABCD中，M是AB的中点，O是对角线AC与BD的交点，延长MO与CD交于Q点，求证： S△BCO S△ADO = CQ DQ ．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：S△AOM=AO×OM×sinAOM÷2=AM×hAB÷2， S△BOM=BO×OM×sinBOM÷2=BM×hAB÷2， 且M为A、B的中点，故AM=BM． ∴S△AOM=S△BOM， ∴AO×sinAOM=BO×sinBOM， ∴AO：BO=sinBOM：sinAOM…1 ∵S△COQ=OC×OQ×sinCOQ÷2=CQ×hDC÷2…2 S△DOQ=DC×OQ×sinDOQ÷2=DQ×hDC÷2…3 且∠AOM=∠COQ，∠BOM=∠DOQ， 故S△COQ=OC×OQ×sinAOM÷2，S△DOQ=DC×OQ×sinBOQ÷2， S△COQ：S△DOQ=OC×sinAOM：（OD×sinBOM）， 将1式代入上式得S△COQ：S△DOQ=OC×OB：（OD×OA）， 将2式÷3式亦可得：S△COQ：S△DOQ=CQ：DQ， ∴ OB×OC AO×OD = CQ DQ ， ∵ S△BOC S△AOD = OB×OC×sinBOC 2 ÷ AO×OD×sinAOD 2 ， 且∠BOC=∠AOD， ∴ S△BCO S△ADO = CQ DQ ．

据专家权威分析，试题“在凸四边形ABCD中，M是AB的中点，O是对角线AC与BD的交点，延长MO..”主要考查你对  三角形的周长和面积，解直角三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的周长和面积解直角三角形

考点名称：三角形的周长和面积

• 三角形的概念：
  由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
  
  构成三角形的元素：
  边：组成三角形的线段叫做三角形的边；
  顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；
  内角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
  
  三角形有下面三个特性：
  （1）三角形有三条线段；
  （2）三条线段不在同一直线上；
  （3）首尾顺次相接。
  
  三角形的表示：
  用符号“△，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作ABC”。

• 三角形的分类：
  （1）三角形按边的关系分类如下：
  ；
  （2）三角形按角的关系分类如下：
  
  把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

• 三角形的周长和面积：
  三角形的周长等于三角形三边之和。
  三角形面积=（底×高）÷2。

考点名称：解直角三角形

• 概念：
  在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
  
  解直角三角形的边角关系：
  在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，
  （1）三边之间的关系：（勾股定理）；
  （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；
  （3）边角之间的关系：。

• 解直角三角形的函数值:
  

  锐角三角函数：
  sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b,cotA=b/a
  （1）互余角的三角函数值之间的关系：
  若∠ A+∠ B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA