题文

已知四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16． （1）这样的四边形有几个？ （2）求这样的四边形边长的平方和的最小值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）如图，记AB=a，CD=b，AC=l，并设△ABC的边BA上的高为h1，△ADC的边DC上的高为h2， 则S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC= 1 2 （h1a+h2b）≤ 1 2 l（a+b）， 当且仅当h1=h2=l时等号成立，即在四边形ABCD中，当AC⊥AB，AC⊥CD时，等号成立， 由已知得64≤l（a+b），又∵a+b=16-l， 得64≤l（16-l）=64-（l-8）2≤64， 于是l=8，a+b=8，且这时AC⊥AB，AC⊥CD， 因此这样的四边形由如下4个：a=1，b=7，l=8；a=2，b=6，l=8；a=3，b=5，l=8；a=b=4，l=8； （2）由于AB=a，CD=8-a，则BC2=82+a2，AD2=82+（8-a）2， 故这样的四边形的边长的平方和为： 2a2+2（8-a）2+128=4（a-4）2+192， 当a=b=4时，平方和最小，且为192． 故答案为：4，192．

据专家权威分析，试题“已知四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和..”主要考查你对  三角形的周长和面积  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的周长和面积

考点名称：三角形的周长和面积

• 三角形的概念：
  由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
  
  构成三角形的元素：
  边：组成三角形的线段叫做三角形的边；
  顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；
  内角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
  
  三角形有下面三个特性：
  （1）三角形有三条线段；
  （2）三条线段不在同一直线上；
  （3）首尾顺次相接。
  
  三角形的表示：
  用符号“△，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作ABC”。

• 三角形的分类：
  （1）三角形按边的关系分类如下：
  ；
  （2）三角形按角的关系分类如下：
  
  把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

• 三角形的周长和面积：
  三角形的周长等于三角形三边之和。
  三角形面积=（底×高）÷2。