题文

王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔，已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米。 （1）请用a表示第三条边长； （2）问第一条边长可以为7米吗？请说明理由，并求出a的取值范围； （3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，说明理由。

题型：计算题  难度：偏难

答案

解：（1）∵第二条边长为2a+2， ∴第三条边长为30-a-（2a+2）=28-3a； （2）当a=7时，三边长分别为7，16，7， 由于7+7＜16，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为7米， 由可解得 即a的取值范围是； （3）在（2）的条件下，注意到a为整数，所以a只能取5或6， 当a=5时，三角形的三边长分别为5，12，13，由52+122=132知，恰好能构成直角三角形， 当a=6时，三角形的三边长分别为6，14，10，由62+102≠142知，此时不能构成直角三角形， 综上所述，能围成满足条件的小圈，它们的三边长分别为5米，12米，13米。

据专家权威分析，试题“王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养..”主要考查你对  三角形的三边关系，一元一次不等式组的应用，勾股定理的逆定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的三边关系一元一次不等式组的应用勾股定理的逆定理

考点名称：三角形的三边关系

• 三角形的三边关系：
  在三角形中，任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边。
  设三角形三边为a,b,c
  则
  a+b>c
  a+c>b
  b+c>a
  a-b<c
  a-c<b
  b-c<a
  在直角三角形中，设a、b为直角边，c为斜边。
  则两直角边的平方和等于斜边平方。
  在等边三角形中，a=b=c
  在等腰三角形中， a,b为两腰，则a=b
  在三角形ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c的情况下，c²=a²+b²-2abcosc

• 三角形的三边关系定理及推论：
  （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
  推论：三角形的两边之差小于第三边。
  （2）三角形三边关系定理及推论的作用：
  ①判断三条已知线段能否组成三角形；
  ②当已知两边时，可确定第三边的范围；
  ③证明线段不等关系。

考点名称：一元一次不等式组的应用

• 应用：列一元一次不等式组解决实际问题。

• 一元一次不等式的应用主要涉及问题：
  1.分配问题：
  例：一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件，若前面每人分4件，则最后一人得到的玩具最多3件，问小朋友的人数至少有多少人？。
  
  2.积分问题：
  例：某次数学测验共20道题（满分100分）。评分办法是：答对1道给5分，答错1道扣2分，不答不给分。某学生有1道未答。那么他至少答对几道题才能及格？
  
  3.比较问题:
  例：某校校长暑假将带领该校“三好学生”去三峡旅游，甲旅行社说：如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠；乙旅行社说：包括校长在内全部按全票的6折优惠。已知两家旅行社的全票价都是240元，至少要多少名学生选甲旅行社比较好？

  4.行程问题:
  例：抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？

  5.车费问题:
  例：出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内需付10元车费),达到或超过5km后,每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计),现在某人乘这种出租 汽车从甲地到乙地支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程超过多少km?
  
  6.浓度问题:
  例：在1千克含有40克食盐的海水中，在加入食盐，使他成为浓度不底于20%的食盐水，问：至少加入多少食盐？

  7.增减问题:
  例：一根长20cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体。在弹簧伸长后的长度不超过30cm的限度内，每挂1㎏质量的物体，弹簧伸长0.5cm.求弹簧所挂物体的最大质量是多少？

  8.销售问题:
  例：商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元售出全部商品的65%，然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%。
  (1)试求该商品的进价和第一次的售价；
  (2)为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？

• 一元一次不等式组解应用题的一般步骤为：
  列不等式组解决实际问题的步骤与列一元一次不等式解应用题的步骤相类似,所不同的是,前者需寻求的不等关系往往不止一个,而后者只需找出一个不等关系即可。
  （1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键词语，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；
  （2）设：设出适当的未知数；
  （3）列：根据题中的不等关系列出不等式组；
  （4）解：解出所列不等式组的解集；
  （5）答：写出答案，从不等式组的解集中找出符合题意的答案，并检验是否符合题意。

考点名称：勾股定理的逆定理

• 勾股定理的逆定理:
  如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形。
  
  勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。
  若c为最长边，且a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形。如果a²+b²>c²，则△ABC是锐角三角形。如果a²+b²<c²，则△ABC是钝角三角形。
  由于余弦定理是由勾股定理推出的，故可以用来证明其逆定理而不算循环论证。
  勾股定理的逆定理是判定三角形是不是直角三角形的重要方法。

• 勾股定理的来源：
  毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
  毕达哥拉斯在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。　
  常用勾股数组（3,4,5）；（6,8,10）；（5,12,13）；（8,15,17） ；（7,24,25）
  有关勾股定理书籍 ：《数学原理》人民教育出版社；《探究勾股定理》同济大学出版社；《优因培教数学》北京大学出版社；《勾股书籍》新世纪出版社；《九章算术一书》《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社；《几何原本》（原著：欧几里得）人民日报出版社。
  
  毕达哥拉斯树