题文

如图，已知△ABC中，AB=AC，E、F分别在AB、AC上且AE=CF． 求证：EF≥ 1 2 BC．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：过E作ED平行且等于BC，连接DF，DC（如图）， ∴BCDE是平行四边形， ∴DC平行且等于BE， ∴∠1=∠A， ∵AB=AC，AE=FC， ∴BE=AF=DC， ∴△AEF≌△CFD， ∴EF=DF， 在△EFD中，EF+DF＞DE， ∴2EF＞BC，即EF＞ 1 2 BC， 当E、F为AB、AC中点时，EF= 1 2 BC， ∴EF≥ 1 2 BC．

据专家权威分析，试题“如图，已知△ABC中，AB=AC，E、F分别在AB、AC上且AE=CF．求证：EF≥1..”主要考查你对  三角形的三边关系，三角形中位线定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的三边关系三角形中位线定理

考点名称：三角形的三边关系

• 三角形的三边关系：
  在三角形中，任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边。
  设三角形三边为a,b,c
  则
  a+b>c
  a+c>b
  b+c>a
  a-b<c
  a-c<b
  b-c<a
  在直角三角形中，设a、b为直角边，c为斜边。
  则两直角边的平方和等于斜边平方。
  在等边三角形中，a=b=c
  在等腰三角形中， a,b为两腰，则a=b
  在三角形ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c的情况下，c²=a²+b²-2abcosc

• 三角形的三边关系定理及推论：
  （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
  推论：三角形的两边之差小于第三边。
  （2）三角形三边关系定理及推论的作用：
  ①判断三条已知线段能否组成三角形；
  ②当已知两边时，可确定第三边的范围；
  ③证明线段不等关系。

考点名称：三角形中位线定理

• 三角形中位线定义：
  连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
  三角形中位线定理：
  三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
  
  如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
  则DE平行于BC且等于BC/2

• 三角形中位线逆定理：
  
  逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
  如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
  逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
  如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

• 区分三角形的中位线和中线：
  三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；
  三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。