题文

如图，已知△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是角平分线． 求证：（1）2AD＜AB+AC； （2）∠BAD＞∠DAC； （3）AE＜AD．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：延长AD到F，使DF=AD，连接BF（如图）， 易证△ADC≌△FDB，所以AC=BF， （1）在△ABF中，AB+BF＞AD+DF， 所以2AD＜AB+AC； （2）因为△ADC≌△FDB，所以∠CAD=∠F， 因为AB＞AC，所以AB＞BF， 所以∠F＞∠BAD， 所以∠CAD＞∠BAD； （3）由（2），∠BAD＜∠DAC及∠BAE=∠EAC= 1 2 ∠BAC， 所以∠BAD＜∠EAC， 因为AB＞AC所以∠C＞∠B， 所以∠BAD+∠B＜∠EAC+∠C， 所以∠ADE＜∠AED，所以AE＜AD．

据专家权威分析，试题“如图，已知△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是角平分线．求证：（1）2AD＜..”主要考查你对  三角形的三边关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的三边关系

考点名称：三角形的三边关系

• 三角形的三边关系：
  在三角形中，任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边。
  设三角形三边为a,b,c
  则
  a+b>c
  a+c>b
  b+c>a
  a-b<c
  a-c<b
  b-c<a
  在直角三角形中，设a、b为直角边，c为斜边。
  则两直角边的平方和等于斜边平方。
  在等边三角形中，a=b=c
  在等腰三角形中， a,b为两腰，则a=b
  在三角形ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c的情况下，c²=a²+b²-2abcosc

• 三角形的三边关系定理及推论：
  （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
  推论：三角形的两边之差小于第三边。
  （2）三角形三边关系定理及推论的作用：
  ①判断三条已知线段能否组成三角形；
  ②当已知两边时，可确定第三边的范围；
  ③证明线段不等关系。