题文

如图，已知△ABC中，点D、F、E分别是AB、BC、AC的中点。 （1）试说明：AF与DE互相平分； （2）当△ABC的边或角满足什么条件时，AF与DE相等？说明理由； （3）当△ABC的边或角满足什么条件时，AF与DE垂直？说明理由。

题型：证明题  难度：中档

答案

证明：“略”。

据专家权威分析，试题“如图，已知△ABC中，点D、F、E分别是AB、BC、AC的中点。（1）试说明..”主要考查你对  三角形中位线定理，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，平行线分线段成比例  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形中位线定理等腰三角形的性质，等腰三角形的判定平行线分线段成比例

考点名称：三角形中位线定理

• 三角形中位线定义：
  连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
  三角形中位线定理：
  三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
  
  如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
  则DE平行于BC且等于BC/2

• 三角形中位线逆定理：
  
  逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
  如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
  逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
  如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

• 区分三角形的中位线和中线：
  三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；
  三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：平行线分线段成比例

• 平行线分线段成比例定理：
  三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
  推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
  定理推论：
  ①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
  ②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

• 证明思路:
  该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它（用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点
  
  法1：过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N,过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q,则四边形AMPD、ANQD均为矩形。
  
  AM=DP，AN=DQ
  AB=AM/cosA，AC=AN/cosA，∴AB/AC=AM/AN
  DE=DP/cosD，DF=DQ/cosD，∴DE/DF=DP/DQ
  又∵AM=DP，AN=DQ，∴AB/AC=DE/DF
  根据比例的性质：
  AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)
  ∴AB/BC=DE/EF
  
  法2：过A点作AN∥DF交BE于M点，交CF于N点，则AM=DE，MN=EF.
  
  ∵ BE∥CF
  ∴△ABM∽△ACN.
  ∴AB/AC=AM/AN
  ∴AB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)
  ∴AB/BC=DE/EF
  
  法3：连结AE、BD、BF、CE
  
  根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE， S△BCE=S△BEF
  ∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE
  根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：
  AB/BC=DE/EF
  由更比性质、等比性质得：
  AB/DE=BC/EF=（AB+BC)/(DE+EF）=AC/DF