如图所示,在△ABC中,E为AB的中点,CD平分∠ACB,AD⊥CD于点D.试说明:(1)DE∥BC;(2)DE=(BC﹣AC).-八年级数学

题文

如图所示,在△ABC中,E为AB的中点,CD平分∠ACB,AD⊥CD于点D.
试说明:(1)DE∥BC;(2)DE=(BC﹣AC).
题型:证明题  难度:中档

答案

证明:延长AD交BC于F.
(1)∵AD⊥CD,
∴∠ADC=∠FDC=90°.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠FCD.
在△ACD与△FCD中,
∠ADC=∠FDC DC=DC∠ACD=∠FCD,
∴△ACD≌△FCD.
∴AC=FC AD=DF.
又∵E为AB的中点,
∴DE∥BF,
即DE∥BC.
(2)由(1)知AC=FC,DE=BF,
∴DE=(BC﹣FC)=(BC﹣AC).

据专家权威分析,试题“如图所示,在△ABC中,E为AB的中点,CD平分∠ACB,AD⊥CD于点D.试说..”主要考查你对  三角形中位线定理,全等三角形的性质,三角形全等的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

三角形中位线定理全等三角形的性质三角形全等的判定

考点名称:三角形中位线定理

  • 三角形中位线定义:
    连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
    三角形中位线定理:
    三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。

    如图已知△ABC中,D,E分别是AB,AC两边中点。
    则DE平行于BC且等于BC/2

  • 三角形中位线逆定理:

    逆定理一:在三角形内,与三角形的两边相交,平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
    如图DE//BC,DE=BC/2,则D是AB的中点,E是AC的中点。
    逆定理二:在三角形内,经过三角形一边的中点,且与另一边平行的线段,是三角形的中位线。
    如图D是AB的中点,DE//BC,则E是AC的中点,DE=BC/2

  • 区分三角形的中位线和中线:
    三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段;
    三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。

考点名称:全等三角形的性质

  • 全等三角形:
    两个全等的三角形,而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换,两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称,或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时,该两个三角形就是全等三角形。正常来说,验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证,最后便能得出结果。
    全等三角形的对应边相等,对应角相等。
    ①全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;
    ②全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角;
    ③有公共边的,公共边一定是对应边;
    ④有公共角的,角一定是对应角;
    ⑤有对顶角的,对顶角一定是对应角。

  • 全等三角形的性质:
    1.全等三角形的对应角相等。
    2.全等三角形的对应边相等。
    3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
    4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
    5.全等三角形的对应边上的中线相等。
    6.全等三角形面积相等。
    7.全等三角形周长相等。
    8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。

  •  

考点名称:三角形全等的判定

  • 三角形全等判定定理:
    1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了
    三角形具有稳定性的原因。
    2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
    3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
    4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
    5、直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”) 所以:SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
    注意:在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

  • 三角形全等的判定公理及推论:
    (1)“边角边”简称“SAS”
    (2)“角边角”简称“ASA”
    (3)“边边边”简称“SSS”
    (4)“角角边”简称“AAS”
    注意:在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

    要验证全等三角形,不需验证所有边及所有角也对应地相同。
    以下判定,是由三个对应的部分组成,即全等三角形可透过以下定义来判定:
    ①S.S.S. (边、边、边):
    各三角形的三条边的长度都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
    ②S.A.S. (边、角、边):
    各三角形的其中两条边的长度都对应地相等,且两条边夹着的角都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
    ③A.S.A. (角、边、角):
    各三角形的其中两个角都对应地相等,且两个角夹着的边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
    ④A.A.S. (角、角、边):
    各三角形的其中两个角都对应地相等,且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
    ⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边):
    各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。 但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分,但不能判定全等三角形:
    ⑥A.A.A. (角、角、角):
    各三角形的任何三个角都对应地相等,但这并不能判定全等三角形,但则可判定相似三角形。
    ⑦A.S.S. (角、边、边):
    各三角形的其中一个角都相等,且其余的两条边(没有夹着该角),但这并不能判定全等三角形,除非是直角三角形。
    但若是直角三角形的话,应以R.H.S.来判定。

  • 解题技巧:
    一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
    因此我们可以来采取逆思维的方式。
    来想要证全等,则需要什么条件:要证某某边等于某某边,那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。
    然后把所得的等式运用(AAS/ASA/SAS/SSS/HL)证明三角形全等。

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