题文

如下图，已知BE、CD分别是△ABC的角平分线，并且AE⊥BE于E点，AD⊥DC于D点． 求证： （1）DE∥BC； （2）．

题型：证明题  难度：中档

答案

证明：（1）延长AD、AE，交BC于F、G； ∵BE⊥AG， ∴∠AEB=∠BEG=90°； ∵BE平分∠ABG， ∴∠ABE=∠GBE； ∴∠BAE=∠BGE； ∴△ABG是等腰三角形； ∴AB=BG，E是AG中点；同理可得：AC=CF，D是AF中点； ∴DE是△AFG的中位线； ∴DE∥BC． （2）由（1）知DE是△AFG的中位线， ∴DE=FG； ∵FG=BG+CF﹣BC，且AB=BG，AC=CF； ∴FG=AB+AC﹣BC，即DE=（AB+AC﹣BC）．

据专家权威分析，试题“如下图，已知BE、CD分别是△ABC的角平分线，并且AE⊥BE于E点，AD⊥D..”主要考查你对  三角形中位线定理，平行线的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形中位线定理平行线的判定

考点名称：三角形中位线定理

• 三角形中位线定义：
  连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
  三角形中位线定理：
  三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
  
  如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
  则DE平行于BC且等于BC/2

• 三角形中位线逆定理：
  
  逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
  如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
  逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
  如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

• 区分三角形的中位线和中线：
  三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；
  三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。

考点名称：平行线的判定

• 平行线的概念：
  在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。
  注意：
  ①平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。
  ②当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。

• 平行线的判定平行线的判定公理：
  （1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。
  （2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。
  （3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。
  还有下面的判定方法：
  （1）平行于同一条直线的两直线平行。
  （2）垂直于同一条直线的两直线平行。
  （3）平行线的定义。

  判定方法的逆应用：
  在同一平面内，两直线不相交，即平行。
  两条直线平行于一条直线，则三条不重合的直线互相平行。
  两直线平行，同位角相等。
  两直线平行，内错角相等。
  两直线平行，同旁内角互补。
  6a⊥c，b⊥c则a∥b。