题文

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC． （1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论． （2）求证：PC是⊙O的切线．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）猜想：OD∥BC，OD= 1 2 BC． 证明：∵OD⊥AC， ∴AD=DC ∵AB是⊙O的直径， ∴OA=OB…2分 ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥BC，OD= 1 2 BC （2）证明：连接OC，设OP与⊙O交于点E． ∵OD⊥AC，OD经过圆心O， ∴ AE = CE ，即∠AOE=∠COE 在△OAP和△OCP中， OA=OC ∠AOP=∠COP OP=OP ， ∴△OAP≌△OCP， ∴∠OCP=∠OAP ∵PA是⊙O的切线， ∴∠OAP=90°． ∴∠OCP=90°，即OC⊥PC ∴PC是⊙O的切线．

据专家权威分析，试题“如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，A..”主要考查你对  三角形中位线定理，圆心角，圆周角，弧和弦，直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形中位线定理圆心角，圆周角，弧和弦直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）

考点名称：三角形中位线定理

• 三角形中位线定义：
  连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
  三角形中位线定理：
  三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
  
  如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
  则DE平行于BC且等于BC/2

• 三角形中位线逆定理：
  
  逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
  如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
  逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
  如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

• 区分三角形的中位线和中线：
  三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；
  三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。

考点名称：圆心角，圆周角，弧和弦

• 圆的定义:
  在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。
  
  弧：
  圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
  弧用符号“⌒”表示以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
  优弧：大于半圆的弧（多用三个字母表示）；
  劣弧：小于半圆的弧（多用两个字母表示）
  圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 
   弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
  推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
  
  圆心角：
  顶点在圆心的角叫做圆心角。
  
  圆周角：
  顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
  圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。

• 圆心角特征识别:
  ①顶点是圆心；
  ②两条边都与圆周相交。

  计算公式:
  ①L(弧长)=n/180Xπr（n为圆心角度数，以下同）；
  ②S(扇形面积) = n/360Xπr²；
  ③扇形圆心角n=（180L）/（πr）（度）。
  ④K=2Rsin(n/2) K=弦长；n=弦所对的圆心角，以度计。

  圆心角定理:
  圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
  理解：(定义）
  （1）等弧对等圆心角
  （2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．
  （3）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．
  （4）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．
  推论：
  在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等

  与圆周角关系:
  在同圆或等圆中,同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角。
  定理证明：分三种情况讨论，始终做直径COD，利用等腰三角形等腰底角相等，外角等于两内角之和来证明。
  
  圆周角定理推论：