题文

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD= 1 2 AB，点E、F分别为边 BC、AC的中点． （1）求证：DF=BE； （2）过点A作AG∥BC，交DF于点G，求证：AG=DG．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：（1）如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H， ∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点， ∴AH=BH= 1 2 AB，EF∥AB． ∵AD= 1 2 AB， ∴AD=AH． ∵CA⊥AB， ∴CA是DH的中垂线． ∴DF=FH． ∵FH∥BC，EF∥AB， ∴四边形HFEB是平行四边形． ∴FH=BE． ∴BE=FD． （2）由（1）知BE=FD， 又∵EF∥AD， ∴四边形DBEF是等腰梯形． ∴∠B=∠D． ∵AG∥BC，∠B=∠DAG， ∴∠D=∠DAG． ∴AG=DG．

据专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=12AB，点E、F分别..”主要考查你对  三角形中位线定理，垂直平分线的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形中位线定理垂直平分线的性质

考点名称：三角形中位线定理

• 三角形中位线定义：
  连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
  三角形中位线定理：
  三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
  
  如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
  则DE平行于BC且等于BC/2

• 三角形中位线逆定理：
  
  逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
  如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
  逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
  如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

• 区分三角形的中位线和中线：
  三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；
  三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。

考点名称：垂直平分线的性质

• 垂直平分线的概念：
  垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。
  如图：直线MN即为线段AB的垂直平分线。
  

• 垂直平分线的性质：
  1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
  2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
  逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
  3.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
  4.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相 等。
  （此时以外心为圆心，外心到顶点的长度为半径，所作的圆为此三角形的外接圆。）
  
  判定：
  ①利用定义；
  ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
  （即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）

• 尺规作法：（用圆规作图）
  1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
  2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到两个交点(两交点交与线段的异侧)。
  3、连接这两个交点。
  原理：等腰三角形的高垂直平分底边。