题文

已知：如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE．AF∥BC，且AF= 1 2 BC， 连接DF． （1）求证：四边形AFDE是平行四边形； （2）如果AB=AC，∠BAC=60°，求证：AD⊥EF．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， 即得  DE∥BC，DE= 1 2 BC．                                     …（2分） ∵AF∥BC，AF= 1 2 BC， ∴DE∥AF，DE=AF．                                             …（2分） ∴四边形AFDE是平行四边形．                                      …（1分） （2）∵AB=AC，∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形，即得：AC=BC．                              …（1分） 于是，由点E是AC的中点，得  DE= 1 2 BC= 1 2 AC=AE．               …（1分） 又∵四边形AFDE是平行四边形， ∴四边形AFDE是菱形．                                              …（1分） ∴AD⊥EF．                                                        …（1分）

据专家权威分析，试题“已知：如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE．AF∥BC，..”主要考查你对  三角形中位线定理，菱形，菱形的性质，菱形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形中位线定理菱形，菱形的性质，菱形的判定

考点名称：三角形中位线定理

• 三角形中位线定义：
  连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
  三角形中位线定理：
  三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
  
  如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
  则DE平行于BC且等于BC/2

• 三角形中位线逆定理：
  
  逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
  如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
  逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
  如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

• 区分三角形的中位线和中线：
  三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；
  三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。

考点名称：菱形，菱形的性质，菱形的判定

• 菱形的定义:
  在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

• 菱形的性质:
  ①菱形具有平行四边形的一切性质；
  ②菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；
  ③菱形的四条边都相等；
  ④菱形既是轴对称图形（两条对称轴分别是其两条对角线所在的直线），也是中心对称图形（对称中心是其重心，即两对角线的交点）；
  ⑤在有一个角是60°角的菱形中，较短的对角线等于边长，较长的对角线是较短的对角线的根号3倍。

• 菱形的判定:
  在同一平面内，
  （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
  （2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
  （3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
  菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，而且是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而增加了一些特殊的性质和判定方法。
  菱形的面积：S_菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半。