题文

如图，已知△ABC．只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个△DEF，使得△DEF∽△ABC，且EF= 1 2 BC．（要求保留作图痕迹，不必写出作法）

题型：解答题  难度：中档

答案

画图 △DEF就是所求三角形（5分），结论（1分）．

据专家权威分析，试题“如图，已知△ABC．只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个△DEF，使..”主要考查你对  三角形中位线定理，位似  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形中位线定理位似

考点名称：三角形中位线定理

• 三角形中位线定义：
  连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
  三角形中位线定理：
  三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
  
  如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
  则DE平行于BC且等于BC/2

• 三角形中位线逆定理：
  
  逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
  如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
  逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
  如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

• 区分三角形的中位线和中线：
  三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；
  三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。

考点名称：位似

• 位似图形：
  如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，那么这两个图形叫做位似图形。位似图形对应点连线的交点是位似中心，这时的相似比又称为位似比。
  注：
  ①位似图形是相似图形的特例；
  ②位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形；
  ③位似图形的对应边互相平行或共线。

• 位似图形的性质：
  位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。 
  1.位似图形对应线段的比等于相似比。
  2.位似图形的对应角都相等。
  3.位似图形对应点连线的交点是位似中心。
  4.位似图形面积的比等于相似比的平方。
  5.位似图形高、周长的比都等于相似比。
  6.位似图形对应边互相平行或在同一直线上。

• 位似图形作用：
  利用位似可以将一个图形任意放大或缩小。
  位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
  根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
  作图步骤：（位似比，即位似图形的相似比，指的是要求画的新图形与参照的原图形的相似比）
  ①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；
  ②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；
  ③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；
  ④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形，最好做两个。
  
  位似变换：
  把一个几何图形变换成与之位似的图形,叫做位似变换。
  物理中的透镜成像就是一种位似变换,位似中心为光心。
  位似变换应用极为广泛，特别是可以证明三点共线等问题。