题文

如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AB=AC，AE⊥AC且AE=AD，连BE交AC于F． （1）如图1，若CD=AD，试猜想BF与EF的数量关系； （2）如图2，若CD≠AD，问题（1）BF与EF的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请说明理由； （3）如图2，在第（2）问的条件下，取BC中点M，问线段MF与线段BD之间是否存在某种确定的数量关系？若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）BF=EF． （2）BF=EF仍成立， 过B点作BG⊥AC于G， ∵CD∥AB，∴∠DCA=∠BAC ∵∠BGA=∠ADC=90°，AB=AC ∴△ABG≌△CAD， 由此得BG=AD，又AD=AE， ∴BG=AE， 又∵∠BGA=∠EAG=90°，∠BFG=∠AFE 可得△FBG≌△FEA， ∴BF=EF． （3）MF= 1 2 BD，连接CE，可知MF是△BCE的中位线， ∴MF= 1 2 CE ∵AD=AE，AC=AB，∠CAE=∠BAD=90°， ∴△CAE≌△BAD ∴CE=BD ∴MF= 1 2 CE= 1 2 BD．

据专家权威分析，试题“如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AB=AC，AE⊥AC且AE=AD..”主要考查你对  三角形中位线定理，梯形，梯形的中位线  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形中位线定理梯形，梯形的中位线

考点名称：三角形中位线定理

• 三角形中位线定义：
  连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
  三角形中位线定理：
  三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
  
  如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
  则DE平行于BC且等于BC/2

• 三角形中位线逆定理：
  
  逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
  如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
  逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
  如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

• 区分三角形的中位线和中线：
  三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；
  三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。

考点名称：梯形，梯形的中位线

• 梯形的定义：
  一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
  梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形中不平行的两边叫做梯形的腰，梯形的两底的距离叫做梯形的高。
  梯形的中位线：
  连结梯形两腰的中点的线段。 

• 梯形性质：
  ①梯形的上下两底平行；
  ②梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）平行于两底并且等于上下底和的一半。
  ③等腰梯形对角线相等。

  梯形判定：
  1.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。
  2.一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
  
  梯形中位线定理：
  梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
  梯形中位线×高=（上底+下底）×高=梯形面积
  梯形中位线到上下底的距离相等
  中位线长度=（上底+下底）
  
  梯形的周长与面积：
  梯形的周长公式：上底+下底+腰+腰，用字母表示：a+b+c+d。
  等腰梯形的周长公式：上底+下底+2腰，用字母表示：a+b+2c。
  梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示：S=（a+b）×h。
  变形1：h=2s÷（a+b）；
  变形2：a=2s÷h-b；
  变形3：b=2s÷h-a。
  另一计算梯形的面积公式： 中位线×高，用字母表示：L·h。
  对角线互相垂直的梯形面积为：对角线×对角线÷2。

• 梯形的分类：
  
  
  等腰梯形：两腰相等的梯形。
  直角梯形：有一个角是直角的梯形。
  
  等腰梯形的性质：
  （1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等。
  （2）等腰梯形的对角线相等。
  （3）等腰梯形是轴对称图形。
  
  等腰梯形的判定：
  （1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
  （2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
  （3）对角线相等的梯形是等腰梯形。