题文

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点． （1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明； （2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）FH与FC的数量关系是：FH=FC． 证明如下：延长DF交AB于点G， 由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF， ∴DG∥CB， ∵点D为AC的中点， ∴点G为AB的中点，且DC= 1 2 AC， ∴DG为△ABC的中位线， ∴DG= 1 2 BC． ∵AC=BC， ∴DC=DG， ∴DC-DE=DG-DF， 即EC=FG． ∵∠EDF=90°，FH⊥FC， ∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°， ∴∠1=∠2． ∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形， ∴∠DEF=∠DGA=45°， ∴∠CEF=∠FGH=135°， ∴△CEF≌△FGH， ∴CF=FH． （2）FH与FC仍然相等． 理由：由题意可得出：DF=DE， ∴∠DFE=∠DEF=45°， ∵AC=BC， ∴∠A=∠CBA=45°， ∵DF∥BC， ∴∠CBA=∠FGB=45°， ∴∠FGH=∠CEF=45°， ∵点D为AC的中点，DF∥BC， ∴DG= 1 2 BC，DC= 1 2 AC， ∴DG=DC， ∴EC=GF， ∵∠DFC=∠FCB， ∴∠GFH=∠FCE， 在△FCE和△HFG中 ∠CEF=∠FGH EC=GF ∠ECF=∠GFH ， ∴△FCE≌△HFG（ASA）， ∴HF=FC．

据专家权威分析，试题“在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点．（1）如图1，E为线段DC..”主要考查你对  三角形中位线定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形中位线定理

考点名称：三角形中位线定理

• 三角形中位线定义：
  连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
  三角形中位线定理：
  三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
  
  如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
  则DE平行于BC且等于BC/2

• 三角形中位线逆定理：
  
  逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
  如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
  逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
  如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

• 区分三角形的中位线和中线：
  三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；
  三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。