题文

如图所示．△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H． （1）求证：GH∥BC； （2）若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：分别延长AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以△ABG≌△MBG（ASA）． 从而，G是AM的中点．同理可证△ACH≌△NCH（ASA）， 从而，H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，从而，HG∥MN，即HG∥BC． （2）由（1）知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH， 所以AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米． 又BC=18厘米， 所以BN=BC-CN=18-14=4（厘米）， MC=BC-BM=18-9=9（厘米）． 从而MN=18-4-9=5（厘米）， ∴GH= 1 2 MN= 5 2 cm．

据专家权威分析，试题“如图所示．△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥C..”主要考查你对  三角形中位线定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形中位线定理

考点名称：三角形中位线定理

• 三角形中位线定义：
  连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
  三角形中位线定理：
  三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
  
  如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
  则DE平行于BC且等于BC/2

• 三角形中位线逆定理：
  
  逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
  如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
  逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
  如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

• 区分三角形的中位线和中线：
  三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；
  三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。