题文

如图，△ABC中，BD为AC边上的中线，BE平分∠CBD，AF⊥BE，分别交BC、BE、BD于F、G、H． （1）求证：CF=2DH； （2）若AB=BC，cos∠BCA= 3 5 ，DE=4，求HD的长．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：取AF的中点M，连接MD， ∵AD=DC， ∴CF=2MD，且MD∥BC， ∴∠DMH=∠BFH， 又∵∠BGH=∠BGF=90°，∠HBG=∠FBG， ∴∠BHG=∠BFH， 而∠DMH=∠BFH，∠DHM=∠BHG， ∴∠DMH=∠DHM， ∴DH=DM．而CF=2MD， ∴CF=2DH； （2）过E作EN⊥BC于N， ∵AB=BC，AD=DC， ∴BD⊥AC，而BE平分∠CBD，EN⊥BC， ∴EN=DE=4， 在Rt△CEN中，cos∠BCA= CN CE = 3 5 ， ∴设CN=3k，则CE=5k，得EN=4k=4． ∴k=1，CE=5，CD=9， 在Rt△BCD中，cos∠BCA= CD BC = 3 5 ， ∴BC=15，BD=12， 又∵∠BHG=∠BFH， ∴BH=BF， 设DH=x，则FC=2x，BH=12-x，BF=15-2x． 由12-x=15-2x，得x=3， ∴HD=3．

据专家权威分析，试题“如图，△ABC中，BD为AC边上的中线，BE平分∠CBD，AF⊥BE，分别交BC、..”主要考查你对  三角形中位线定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形中位线定理

考点名称：三角形中位线定理

• 三角形中位线定义：
  连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
  三角形中位线定理：
  三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
  
  如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
  则DE平行于BC且等于BC/2

• 三角形中位线逆定理：
  
  逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
  如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
  逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
  如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

• 区分三角形的中位线和中线：
  三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；
  三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。