题文

如图，已知AE、BD相交于点C，AC=AD，BC=BE，F、G、H分别是DC、CE、AB的中点． 求证：（1）HF=HG；（2）∠FHG=∠DAC．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：（1）连接AF，BG， ∵AC=AD，BC=BE，F、G分别是DC、CE的中点， ∴AF⊥BD，BG⊥AE． 在直角三角形AFB中， ∵H是斜边AB中点， ∴FH= 1 2 AB． 同理得HG= 1 2 AB， ∴FH=HG． （2）∵FH=BH， ∴∠HFB=∠FBH； ∵∠AHF是△BHF的外角， ∴∠AHF=∠HFB+∠FBH=2∠BFH； 同理∠AGH=∠GAH，∠BHG=∠AGH+∠GAH=2∠AGH， ∴∠ADB=∠ACD=∠CAB+∠ABC=∠BFH+∠AGH． 又∵∠DAC=180°-∠ADB-∠ACD， =180°-2∠ADB， =180°-2（∠BFH+∠AGH）， =180°-2∠BFH-2∠AGH， =180°-∠AHF-∠BHG， 而根据平角的定义可得：∠FHG=180°-∠AHF-∠BHG， ∴∠FHG=∠DAC．

据专家权威分析，试题“如图，已知AE、BD相交于点C，AC=AD，BC=BE，F、G、H分别是DC、CE..”主要考查你对  三角形中位线定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形中位线定理

考点名称：三角形中位线定理

• 三角形中位线定义：
  连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
  三角形中位线定理：
  三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
  
  如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
  则DE平行于BC且等于BC/2

• 三角形中位线逆定理：
  
  逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
  如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
  逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
  如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

• 区分三角形的中位线和中线：
  三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；
  三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。