自主理解题(1)写出两个无理数:______,______(2)写出两组勾股数:______,______(3)写一个图象经过第二、四象限的正比例函数:______(4)写出一个以x=2,y=3为解的二元一次方程-数学

首页 > 考试 > 数学 > 初中数学 > 无理数的定义/2019-02-21 / 加入收藏 / 阅读 [打印]

题文

自主理解题
(1)写出两个无理数:______,______
(2)写出两组勾股数:______,______
(3)写一个图象经过第二、四象限的正比例函数:______
(4)写出一个以x=2,y=3为解的二元一次方程:______.
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)两个无理数是:

2

3


(2)两组勾股数是:3、4、5;6、8、10;

(3)∵所求的正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限,
∴k<0,
∴y=-x、y=-3x都符合题意;

(4)∵所求的二元一次方程的解是x=2,y=3,
∴x-y=-1、x+y=5都符合要求;
故答案是:(1)

2

3

(2)3、4、5;6、8、10;
(3)y=-x;
(4)x+y=5.

据专家权威分析,试题“自主理解题(1)写出两个无理数:______,______(2)写出两组勾股数:..”主要考查你对  无理数的定义,二元一次方程的解法,正比例函数的定义,勾股定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

无理数的定义二元一次方程的解法正比例函数的定义勾股定理

考点名称:无理数的定义

  • 无理数定义:
    即非有理数之实数,不能写作两整数之比。若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环。 常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。
    无理数是无限不循环小数。如圆周率π、等。

  • 无理数性质:
    无限不循环的小数就是无理数 。换句话说,就是不可以化为整数或者整数比的数 
    性质1 无理数加(减)无理数既可以是无理数又可以是有理数 
    性质2 无理数乘(除)无理数既可以是无理数又可以是有理数 
    性质3 无理数加(减)有理数一定是无理数 
    性质4 无理数乘(除)一个非0有理数一定是无理数

  • 无理数与有理数的区别:
    1、把有理数和无理数都写成小数形式时,有理数能写成有限小数和无限循环小数,
    比如:4=4.0,=0.8,=0.33333……
    而无理数只能写成无限不循环小数,
    比如:=1.414213562…………
    根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数;
    2、所有的有理数都可以写成两个整数之比,而无理数不能。根据这一点,有人建议给无理数摘掉,把有理数改叫为“比数”,把无理数改叫为“非比数”。

  • 无理数的识别:
    判断一个数是不是无理数,关键就看它能不能写出无限不循环小数,而把无理数写成无限不循环小数,不但麻烦,而且还是我们利用现有知识无法解决的难题。
    初中常见的无理数有三种类型:
    (1)含根号且开方开不尽的方根,但切不可认为带根号的数都是无理数;
    (2)化简后含π的式子;
    (3)不循环的无限小数。
    掌握常见无理数的类型有助于识别无理数。

  • 无理数的历史:
    毕达哥拉斯(Pythagqras,约公元前885年至公元前400年间)是古希腊的大数学家。他证明许多重要的定理,包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理(勾股弦定理),即直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后,觉得不能只满足于用来算题解题,于是他试着从数学领域扩大到哲学,用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践,他提出“凡物皆数”的观点,数的元素就是万物的元素,世界是由数组成的,世界上的一切没有不可以用数来表示的,数本身就是世界的秩序。在他死后大约200年,他的门徒们把这种理论加以研究发展,形成了一个强大的毕达哥拉斯学派。
    公元前500年,古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希伯索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实,一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形的边长为1,则对角线的长不是一个有理数),这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐,认为这将动摇他们在学术界的统治地位,于是极力封锁该真理的流传,希伯索斯被迫流亡他乡,不幸的是,在一条海船上还是遇到毕氏门徒,于是希伯索斯被残忍地扔进了大海。
    希伯索斯的发现,第一次向人们揭示了有理数系的缺陷,证明了它不能同连续的无限直线等同看待,有理数并没有布满数轴上的点,在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是,古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机,对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响,促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明,推动了公理几何学和逻辑学的发展,并且孕育了微积分思想萌芽。
    不可约的本质是什么?长期以来众说纷纭,得不到正确的解释,两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”,17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。
    然而真理毕竟是淹没不了的,毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者,就把不可通约的量取名“无理数”——这就是无理数的由来。

考点名称:二元一次方程的解法

  • 二元一次方程的解:
    使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元一次方程的一个解。

  • 二元一次方程解法:
    二元一次方程有无数个解,除非题目中有特殊条件。
    一、消元法
    “消元”是解二元一次方程的基本思路。所谓“消元”就是减少未知数的个数,使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少,逐一解决的想法,叫做消元思想。
    如:5x+6y=7 2x+3y=4,变为5x+6y=7 4x+6y=8
    消元方法:
    代入消元法(常用)
    加减消元法(常用)
    顺序消元法(这种方法不常用)
    例:
        x-y=3 ①

        3x-8y=4②
    由①得x=y+3③
    ③代入②得
    3(y+3)-8y=4
    y=1
    所以x=4
    则:这个二元一次方程组的解
        x=4

        y=1

    (一)加减-代入混合使用的方法.
    例:
         13x+14y=41 ①
    {      
         14x+13y=40②
    ②-①得
    x-y=-1
    x=y-1 ③
    把③代入①得
    13(y-1)+14y=41
    13y-13+14y=41
    27y=54
    y=2
    把y=2代入③得
    x=1
    所以:x=1,y=2
    最后 x=1 ,y=2, 解出来
    特点:两方程相加减,得到单个x或单个y,适用接下来的代入消元。

    (二)代入法
    是二元一次方程的另一种方法,就是说把一个方程带入另一个方程中
    如:
    x+y=590
    y+20=90%x
    带入后就是:
    x+90%x-20=590
    (x+5)+(y-4)=8
    (x+5)-(y-4)=4
    令x+5=m,y-4=n
    原方程可写为
    m+n=8
    m-n=4
    解得m=6,n=2
    所以x+5=6,y-4=2
    所以x=1,y=6
    特点:两方程中都含有相同的代数式(x+5,y-4),换元后可简化方程。

    (三)另类换元
    例:
    x:y=1:4①
    5x+6y=29②
    令x=t,y=4t
    方程2可写为:5t+24t=29
    29t=29
    t=1
    所以x=1,y=4

    二、换元法
    解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。
    换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。
    它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
    如: