题文

试说明：将和1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 +…+ 1 40 写成最简分数 m n 时，m不会是5的倍数．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：通分得，1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 +…+ 1 40 = 40!+ 40! 2 + 40! 3 +…+ 40! 40 40! （40!=1×2×3×…×40）． 观察发现：分母包括9个5的乘积（5，10，15，20，25，30，35，40），即分母含有因数59．如果m是5的倍数，那么分子至少包括10个5的乘积． 现在看分子：分子是40个数的和，其中每一个数都是1×2×3×…×40除以一个1到40的数，这40个数中有32个数是59的倍数（就是除以的那个数不是5的倍数），7个数是58的倍数（除以的那个数是5的倍数但不是25），1个数是57的倍数（除以的数是25），所以，分子可以写成57（52A+5B+C），由于（52A+5B）是5的倍数，而C不是5的倍数，所以（52A+5B+C）不是5的倍数，即分子仅包含57，而分母包含59，所以约分后的分子（52A+5B+C）不是5的倍数． 即将和1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 +…+ 1 40 写成最简分数 m n 时，m不会是5的倍数．

据专家权威分析，试题“试说明：将和1+12+13+14+…+140写成最简分数mn时，m不会是5的倍数．..”主要考查你对  数学常识  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

数学常识

考点名称：数学常识

• 数学:
  在生活中，我们经常会用到一些数学上的知识，数学和我们人类的生活是息息相关的。
  了解数学的由来和发展，比方说阿拉伯数字的由来了，加减乘除符号的由来，著名的命题“万物皆数”是由毕达哥拉斯提出的等等这些关于数学上的基本常识性问题。

• 学习数学的意义:     
        有这样一个传说，一次，数学家欧基里德教一个学生学习某个定理。结束后这个年轻人问欧基里德，他学了能得到什么好处。欧基里德叫过一个奴隶，对他说：“给他3个奥波尔，他说他学了东西要得到好处。”在数学还非常哲学化的古希腊，探究世界的本原、万物之道，而要得到什么“好处”，受到鄙视是可以理解的。这就像另一个故事：在巴黎的一个酒吧里，一个姑娘问她的情人迟到的原因，那年轻人说他在赶做一道数学题，姑娘摇着脑袋，不解地问：“我真不明白，你花那么多时间搞数学，数学到底有什么用啊？”那年轻人长久地看着她，然后说：“宝贝儿，那么爱情，到底有什么用啊？”
          由经验构成的分散的知识，显然没有成体系的知识可信，我们历来都对知识的体系更有信任感。例如牛顿的力学体系，可以精确地计算物体的运动，即使推测1亿年的日食也几乎丝毫不差；达尔文以物种进化和自然选择为核心的进化论，把整个生物世界统括为一个有序的、有机的系统，使得我们知道不同物种之间的关系。
         但是，即使是经典的知识体系，也不足以始终承载我们的全部信任，因为新的经验、新的研究会调整、更新旧的知识体系，新理论会替代旧理论。爱因斯坦相对论的出现，使得牛顿的力学体系成为一种更广泛理论中的特例；基因学说的发展和化石证据的积累，使得达尔文进化论中渐变的思想受到挑战，这样的事例充满了整个科学发展的历史，让我们不时用怀疑的眼光打量一下那些仿佛无懈可击的知识体系，对它们心存警惕。
        不过，在人们追求确定性、可靠性的时候，还有一块安宁的绿洲，那就是数学。数学是我们最可信赖的科学，什么东西一经数学的证明，便板上钉钉，确凿无疑。另外，新的数学理论开拓新的领域，可以包容但不会否定已有的理论。数学是惟一一门新理论不推翻旧理论的科学，这也是数学值得信赖的明证。