已知抛物线y=12x2-(m-3)x+5-4m2.(1)求证:无论m为任何实数,抛物线与x轴总有两个交点;(2)若A(n-3,n2+2)、B(-n+1,n2+2)是抛物线上的两个不同点,求抛物线的解析式和n的值;-数学

首页 > 考试 > 数学 > 初中数学 > 数学常识/2019-02-24 / 加入收藏 / 阅读 [打印]

题文

已知抛物线y=
1
2
x2-(m-3)x+
5-4m
2

(1)求证:无论m为任何实数,抛物线与x轴总有两个交点;
(2)若A(n-3,n2+2)、B(-n+1,n2+2)是抛物线上的两个不同点,求抛物线的解析式和n的值;
(3)若反比例函数y=
k
x
(k>0,   x>0)的图象与(2)中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为x0,且满足2<x0<3,求k的取值范围.
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)证明:令
1
2
x2-(m-3)x+
5-4m
2
=0.
得△=[-(m-3)]2-4×
1
2
×
5-4m
2
=m2-2m+4=(m-1)2+3.
∵不论m为任何实数,都有(m-1)2+3>0,即△>0.
∴不论m为任何实数,抛物线与x轴总有两个交点.
x=-
-(m-3)
1
2
=m-3.

(2)抛物线y=
1
2
x2-(m-3)x+
5-4m
2
的对称轴为:x=m-3,
∵抛物线上两个不同点A(n-3,n2+2)、B(-n+1,n2+2)的纵坐标相同,
∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称,则m-3=
(n-3)+(-n+1)
2
=-1.
∴m=2.
∴抛物线的解析式为y=
1
2
x2+x-
3
2
.   
∵A(n-3,n2+2)在抛物线y=
1
2
x2+x-
3
2
上,
1
2
(n-3)2+(n-3)-
3
2
=n2+2.
化简,得n2+4n+4=0.
∴n=-2.  

(3)当2<x<3时,
对于y=
1
2
x2+x-
3
2
,y随着x的增大而增大,
对于y=
k
x
(k>0,   x>0),y随着x的增大而减小.
所以当x0=2时,由反比例函数图象在二次函数图象上方,
k
2
1
2
×22+2-
3
2

解得:k>5.
当x0=3时,由二次函数图象在反比例函数图象上方,
m是一个完全平方数,那么和m相邻且比它小的完全平方数是()A.m-1B.m2-1C.m-2m+1D.以上都不对-数学
m是一个完全平方数,那么和m
有多少个正整数x,使得x和x+99都是完全平方数()A.1B.2C.3D.99-数学
有多少个正整数x,使得x和x+
如图,函数y=x2-2x+m(m为常数)的图象如图,如果x=a时,y<0;那么x=a-2时,函数值()A.y<0B.0<y<mC.y=mD.y>m-数学
如图,函数y=x2-2x+m(m为常
已知n2+5n+13是完全平方数,则自然数n的值为______.-数学
已知n2+5n+13是完全平方数,
a、b和c都是两位数,a、b的个位数字分别是7与5,c的十位数字是1.如果它们满足等式ab+c=2005,则a+b+c等于多少?-数学
a、b和c都是两位数,a、b的个