已知二次函数y=x2-2mx+1.记当x=c时,函数值为yc,那么,是否存在实数m,使得对于满足0≤x≤1的任意实数a,b,总有ya+yb≥1.-数学

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题文

已知二次函数y=x2-2mx+1.记当x=c时,函数值为yc,那么,是否存在实数m,使得对于满足0≤x≤1的任意实数a,b,总有ya+yb≥1.
题型:解答题  难度:中档

答案

设y在0≤x≤1的最小值为M,原问题等价于2M≥1,M≥
1
2

二次函数y=x2-2mx+1的图象是一条开口向上的抛的线,
①当对称轴x=m≤0时,由图象可知,x=0时,y最小=1,这时1≥
1
2
成立;
②当对称轴x=m,0<m<1时,由图象可知x=m时,y最小且y最小=1-m2,有1-m2
1
2
,m2
1
2
,故有0<m≤

2
2

③当对称轴x=m,m≥1时,由图象可知,x=1时,y最小且y最小=2-2m,这时有2-2m≥
1
2
,m≤
3
4
与m≥1矛盾.
综上可知,满足条件的m存在,且m的取值范围是m≤

2
2

据专家权威分析,试题“已知二次函数y=x2-2mx+1.记当x=c时,函数值为yc,那么,是否存在..”主要考查你对  数学常识  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

数学常识

考点名称:数学常识

  • 数学:
    在生活中,我们经常会用到一些数学上的知识,数学和我们人类的生活是息息相关的。
    了解数学的由来和发展,比方说阿拉伯数字的由来了,加减乘除符号的由来,著名的命题“万物皆数”是由毕达哥拉斯提出的等等这些关于数学上的基本常识性问题。

  • 学习数学的意义:     
          有这样一个传说,一次,数学家欧基里德教一个学生学习某个定理。结束后这个年轻人问欧基里德,他学了能得到什么好处。欧基里德叫过一个奴隶,对他说:“给他3个奥波尔,他说他学了东西要得到好处。”在数学还非常哲学化的古希腊,探究世界的本原、万物之道,而要得到什么“好处”,受到鄙视是可以理解的。这就像另一个故事:在巴黎的一个酒吧里,一个姑娘问她的情人迟到的原因,那年轻人说他在赶做一道数学题,姑娘摇着脑袋,不解地问:“我真不明白,你花那么多时间搞数学,数学到底有什么用啊?”那年轻人长久地看着她,然后说:“宝贝儿,那么爱情,到底有什么用啊?”
            由经验构成的分散的知识,显然没有成体系的知识可信,我们历来都对知识的体系更有信任感。例如牛顿的力学体系,可以精确地计算物体的运动,即使推测1亿年的日食也几乎丝毫不差;达尔文以物种进化和自然选择为核心的进化论,把整个生物世界统括为一个有序的、有机的系统,使得我们知道不同物种之间的关系。
           但是,即使是经典的知识体系,也不足以始终承载我们的全部信任,因为新的经验、新的研究会调整、更新旧的知识体系,新理论会替代旧理论。爱因斯坦相对论的出现,使得牛顿的力学体系成为一种更广泛理论中的特例;基因学说的发展和化石证据的积累,使得达尔文进化论中渐变的思想受到挑战,这样的事例充满了整个科学发展的历史,让我们不时用怀疑的眼光打量一下那些仿佛无懈可击的知识体系,对它们心存警惕。
          不过,在人们追求确定性、可靠性的时候,还有一块安宁的绿洲,那就是数学。数学是我们最可信赖的科学,什么东西一经数学的证明,便板上钉钉,确凿无疑。另外,新的数学理论开拓新的领域,可以包容但不会否定已有的理论。数学是惟一一门新理论不推翻旧理论的科学,这也是数学值得信赖的明证。
           终极的确定
           数学追求什么?我们称古希腊的贤哲泰勒斯是古代数学第一人,是因为他不像埃及或巴比伦人那样,对任意一个规则物体求数值解,他的雄心是揭示一个系列的真理。比如圆,他的答案不是关于一个特殊圆,而是任意圆,他对全世界所有的圆感兴趣,他创造的理想的圆可以断言:任何经过圆心的直线都将圆分割为两等分,他找到的真理揭示了圆的性质。
            数学要求普遍的确定性。
         数学要划清结果和证明的界限。
      世界再变幻不定,我们也总要有所凭信,有所依托,把这种凭信的根据推到极致,我们能体会到数学的力量。数学之大用也在于此。
      我们的先人很早就开始用数学来解决具体的工程问题,在这方面,各古文明都有上佳的表现,但是古希腊人对数学的理解更值得我们敬佩。首先是毕达哥拉斯学派,他们把数看作是构成世界的要素,世上万物的关系都可以用数来解析,这绝不是我们现代“数字地球”之类的概念可以比拟的,那是一种世界观,万物最终可以归结为数,由数学说明的东西可以成为神圣的信仰,我想,持这样想法的人,一定对自然常存敬畏,不会专横自欺的。
        其次,古希腊人把数学用于辩论,他们要求数学提供关于政治、法律、哲学论点的论据,要求绝对可靠的证据,要求“不可驳斥性”;他们也不满足于(例如埃及、巴比伦前辈那样的)经验性的证据,而是进一步要求证明,要求普遍的确定性。多么可爱、严正的要求!有这样要求的人,必定明达事理,光明磊落。
      为了保证思想可靠,古希腊的思想家制定了思想的规则,在人类历史上,思想第一次成为思想的对象,这些规则我们称之为逻辑。比如不可同时承认正命题和反命题,换句话说,一个论点和它的反论点不能同时为真,即矛盾律;比如一正论点与反论点不可同时为假,即排中律。所有这些努力,都特别体现着人类对确定、可靠的知识的追求,一部数学史,就是人类不断扩大确知领域的历史

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  • 最古老的的数学趣题:
    在七间房子里,每间都养着七只猫;在这七只猫中,不论哪只,都能捕到七只老鼠;而这七只老鼠,每只都要吃掉七个麦穗;如果每个麦穗都能剥下七颗麦粒,请问:房子、猫、老鼠、麦穗、麦粒,都加在一起总共该有多少数?
    答案:总数是19607。
    房子有7间,猫有72=49只,鼠有73=343只,麦穗有74=2401个,麦粒有75=16807合。全部加起来是7+72+73+74+75=19607。
    可以说这是世界上最古老的数学趣题了。大约在公元前1800年,埃及的一个僧侣名叫阿默士,他在纸草书上写有如下字样:
    家  猫  鼠  麦   量器
    7   49  343 2401  16807
    但他没有说明是什么意思。
    两千多年后,意大利的裴波那契在《算盘书》(1202年)中写了这样一个问题:“7个老妇同赴罗马,每人有7匹骡,每匹骡驮7个袋,每个袋盛7个面包,每个面包带有7把小刀,每把小刀放在7个鞘之中,问各有多少?”受到这个问题的启发,德国著名的数学史家M·康托尔认明阿默士的题意和这个题所问是相同的。

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