(1)求证:不论m为何值,关于x的方程2x(x-2m)=(1-m)(1+m)总有两个不等的实数根.(2)二次函数y=2x2-4mx+m2-1的图象与x轴有交点吗?请说明理由.(3)请你根据前两问得到的启示,利用-数学

首页 > 考试 > 数学 > 初中数学 > 数学常识/2019-02-24 / 加入收藏 / 阅读 [打印]

    其次,古希腊人把数学用于辩论,他们要求数学提供关于政治、法律、哲学论点的论据,要求绝对可靠的证据,要求“不可驳斥性”;他们也不满足于(例如埃及、巴比伦前辈那样的)经验性的证据,而是进一步要求证明,要求普遍的确定性。多么可爱、严正的要求!有这样要求的人,必定明达事理,光明磊落。
  为了保证思想可靠,古希腊的思想家制定了思想的规则,在人类历史上,思想第一次成为思想的对象,这些规则我们称之为逻辑。比如不可同时承认正命题和反命题,换句话说,一个论点和它的反论点不能同时为真,即矛盾律;比如一正论点与反论点不可同时为假,即排中律。所有这些努力,都特别体现着人类对确定、可靠的知识的追求,一部数学史,就是人类不断扩大确知领域的历史

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  • 最古老的的数学趣题:
    在七间房子里,每间都养着七只猫;在这七只猫中,不论哪只,都能捕到七只老鼠;而这七只老鼠,每只都要吃掉七个麦穗;如果每个麦穗都能剥下七颗麦粒,请问:房子、猫、老鼠、麦穗、麦粒,都加在一起总共该有多少数?
    答案:总数是19607。
    房子有7间,猫有72=49只,鼠有73=343只,麦穗有74=2401个,麦粒有75=16807合。全部加起来是7+72+73+74+75=19607。
    可以说这是世界上最古老的数学趣题了。大约在公元前1800年,埃及的一个僧侣名叫阿默士,他在纸草书上写有如下字样:
    家  猫  鼠  麦   量器
    7   49  343 2401  16807
    但他没有说明是什么意思。
    两千多年后,意大利的裴波那契在《算盘书》(1202年)中写了这样一个问题:“7个老妇同赴罗马,每人有7匹骡,每匹骡驮7个袋,每个袋盛7个面包,每个面包带有7把小刀,每把小刀放在7个鞘之中,问各有多少?”受到这个问题的启发,德国著名的数学史家M·康托尔认明阿默士的题意和这个题所问是相同的。
    这类问题,在19世纪初又以歌谣体出现在算术书中:
      我赴圣地爱弗西,
      途遇妇女数有七,
      一人七袋手中提,
      一袋七猫数整齐,
      一猫七子紧相依,
      妇与布袋猫与子,
      几何同时赴圣地?

    数学符号的起源:
              数学除了记数以外,还需要一套数学符号来表示数和数、数和形的相互关系。
              数学符号的发明和使用比数字晚,但是数量多得多。现在常用的有200多个,初中数学书里就不下20多种。它们都有一段有趣的经历。
    例如加号曾经有好几种,现在通用"+"号。
             "+"号是由拉丁文"et"("和"的意思)演变而来的。十六世纪,意大利科学家塔塔里亚用意大利文"più"(加的意思)的第一个字母表示加,草为"μ"最后都变成了"+"号。
            "-"号是从拉丁文"minus"("减"的意思)演变来的,简写m,再省略掉字母,就成了"-"了。也有人说,卖酒的商人用"-"表示酒桶里的酒卖了多少。以后,当把新酒灌入大桶的时候,就在"-"上加一竖,意思是把原线条勾销,这样就成了个"+"号。
    到了十五世纪,德国数学家魏德美正式确定:"+"用作加号,"-"用作减号。
      乘号曾经用过十几种,现在通用两种。一个是"×",最早是英国数学家奥屈特1631年提出的;一个是"? ",最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为:"×"号象拉丁字母"X",加以反对,而赞成用"? "号。他自己还提出用"п"表示相乘。可是这个符号现在应用到集合论中去了。
    到了十八世纪,美国数学家欧德莱确定,把"×"作为乘号。他认为"×"是"+"斜起来写,是另一种表示增加的符号。
      "÷"最初作为减号,在欧洲大陆长期流行。直到1631年英国数学家奥屈特用":"表示除或比,另外有人用"-"(除线)表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里,才根据群众创造,正式将"÷"作为除号。
    方根号曾经用拉丁文"Radix"(根)的首尾两个字母合并起来表示,十七世纪初叶,法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中,第一次用"√"表示根号。"r"是由拉丁字线"r"变,"--"是括线。
    六世纪法国数学家维叶特用"="表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得:用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了,于是等于符号"="就从1540年开始使用起来。
    1591年,法国数学家韦达在菱中大量使用这个符号,才逐渐为人们接受。十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了"="号,他还在几何学中用"∽"表示相似,用"≌"表示全等。
           大于号"〉"和小于号"〈",是1631年英国著名代数学家赫锐奥特创用。至于≯""≮"、"≠"这三个符号的出现,是很晚很晚的事了。大括号"{ }"和中括号"[ ]"是代数创始人之一魏治德创造的。

  • 人们为什么喜欢13这个数:
    上海人讲“十三点”,是一句骂人的话,意思是“呆头呆脑”、“傻里傻气。”
    在科学发达的今天,伦敦的住宅区就无法找到门牌号为13的公寓。影剧院里也没有第13排。宴席上第13个位置总是摆着一张独特的桌子。
    在十四届世界杯足球赛上,阿根廷足球队开始战绩不佳,后来他们战胜前苏联队,队员们兴奋之余纷纷说:
    “我们教练这场比赛没让13号上场是英明的决策。”原来比赛那天正好是1990年6月13日,阿根廷队忌讳13这个“不祥的数字,教练比拉尔多为了稳定军心,忍痛让主力后卫13号洛伦索坐在替补席上,不让他上场。
    为什么人们对13这个数如此回避呢?说法很多。
    有一种说法是:我们现在通用的十进制是以数10作为基础的,可是在古罗马则是采用十二进制算法的。到后来,把12作为“一打”的计算方法为欧洲许多国家所采用。因此,12成了家喻户晓的进位制的殿军。这样一来,人们对12以后的数就产生一种莫明其妙的感觉,以致认为13这个数是个不祥的数,是个危险的数,所以后来人们就忌讳使用这样的数。
    另一个理论是来自柏林一位医生威廉姆?福利斯。他认为人类有史以来的一切活动和一切对象皆可以用一个简单的公式“23x+28y”来表示,
    一年有365天,而365=23×11+28×4;
    法国大革命开始于1789年,而1789=23×23+28×45;
    人类细胞核中有46对染色体,而46=23×2+28×0;
    《圣经》中动物的数目是666,而666=23×18+28×9。
    然而,“不幸”的事终于发生在13这个数上:
    13=23×3+28×(-2)
    这个式子中出现了负数,它是“不幸”的。当然,这些都是一些无稽之谈,是没有科学根据的。

    "1名数学家=10个师"的由来:
        第二次世界大战中,美国曾经宣称:一名优秀的数学家的作用超过10个师的兵力。你可知这句话的由来吗?
    1943年以前,在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击,当时,英美两国限于实力,无力增派更多的护航舰,一时间,德军的"潜艇战"搞得盟军焦头烂额。
        为此,有位美国海军将领专门去请教了几位数学家,数学家们运用概率论分析后发现,舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件,按数学角度来看这一问题,它有一定的规律。一定数量的船(如100艘)编队规模越小,编次就越多(如每次20艘,就要有5个编次);编次越多,与敌人相遇的概率就越大。比如5位同学放学都回自己家里,老师要找一位同学的话,随便去哪家都行,但若这5位同学都在其中某一家的话,老师要找几家才能找到,一次找到的可能性只有20%。
        美国海军接受了数学家的建议,命令船队在指定海域集合,再集体通过危险海域,然后各自驶向预定港口。结果奇迹出现了:盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降低为1%,大大减少了损失,保证了物资的及时供应。

  • 考点名称:一元二次方程根的判别式

    • 根的判别式:
      一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac。
      定理1  ax2+bx+c=0(a≠0)中,△>0方程有两个不等实数根;
      定理2  ax2+bx+c=0(a≠0)中,△=0方程有两个相等实数根;
      定理3  ax2+bx+c=0(a≠0)中,△<0方程没有实数根。

      根的判别式逆用(注意:根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。
      定理4  ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个不等实数根△>0;
      定理5  ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个相等实数根△=0;
      定理6  ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程没有实数根△<0。
      注意:(1)再次强调:根的判别式是指△=b2-4ac。
      (2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值。
      (3)如果说方程,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
      (4)根的判别式b2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件a≠0。

    • 根的判别式有以下应用:
      ①不解一元二次方程,判断根的情况。
      ②根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。
      ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
      ④应用根的判别式判断三角形的形状。
      ⑤判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式。
      ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
      ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
      ⑧利用根的判别式解有关抛物线(△>0)与x轴两交点间的距离的问题。

    考点名称:二次函数与一元二次方程

    • 二次函数与一元二次方程的关系:
      函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y=0时,得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。
      那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标,因此,二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
      1、从形式上看:
      二次函数:y=ax2+bx+c  (a≠0)
      一元二次方程:ax2+bx+c=0  (a≠0)
      2、从内容上看:
      二次函数表示的是一对(x,y)之间的关系,它有无数对解;一元二次方程表示的是未知数x的值,最多只有2个值
      3、相互关系:
      二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
      如:y=x2-4x+3与x轴的交点是(1,0)、(3,0),则一元二次方程x2-4x+3=0的根是x=1或x=3