如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的，处，直角边在轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺-九年级数学
题文
如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的 ， 处，直角边 在 轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至 处时，设 与 分别交于点 ，与轴分别交于点 ．（1）求直线  所对应的函数关系式；（2）当点  是线段（端点除外）上的动点时，试探究：①点  到轴的距离 与线段 的长是否总相等？请说明理由；②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积  是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及取最大值时点的坐标；若不存在，请说明理由． |
答案
| （1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2， 知  两点的坐标分别为 ．设直线 所对应的函数关系式为 ．有  解得 所以，直线 所对应的函数关系式为 ．（2）①点 到轴距离与线段的长总相等．因为点  的坐标为 ，所以，直线 所对应的函数关系式为 ．又因为点 在直线上，所以可设点 的坐标为 ．过点 作轴的垂线，设垂足为点 ，则有 ． 因为点 在直线上，所以有 ．因为纸板为平行移动，故有  ，即 ．又  ，所以 ．法一：故  ，从而有  ．得  ， ．所以  ．又有  ．所以  ，得 ，而 ，从而总有  ．法二：故  ，可得 ．故 ．所以 ．故  点坐标为 ．设直线  所对应的函数关系式为 ，则有  解得 所以，直线 所对的函数关系式为 ．将点 的坐标代入，可得 ．解得．而  ，从而总有．②由①知，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
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