下列六个结论:①有理数和数轴上的点一一对应;②带根号的数不一定是无理数;③三角形的内切圆和外接圆是同心圆;④在数据1,3,3,0,2中,众数是3,中位数是3⑤圆心到直线上一点-数学

首页 > 考试 > 数学 > 初中数学 > 数轴/2019-02-10 / 加入收藏 / 阅读 [打印]

  • 中位数的位置:
    当样本数为奇数时,中位数=(N+1)/2;当样本数为偶数时,中位数为N/2与1+N/2的均值

    众数性质:
    用众数代表一组数据,可靠性较差,不过,众数不受极端数据的影响,并且求法简便。在一组数据中,如果个别数据有很大的变动,选择中位数表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。
    当数值或被观察者没有明显次序(常发生于非数值性资料)时特别有用,由于可能无法良好定义算术平均数和中位数。例子:{鸡、鸭、鱼、鱼、鸡、鱼}的众数是鱼。
    众数算出来是销售最常用的,代表最多的 
    众数是在一组数据中,出现次数最多的数据 
    两组数据中,都是1,2出现次数最多 
    所以1,2是众数 
    众数:
    一般来说,一组数据中,出现次数最多的数就叫这组数据的众数。
    例如:1,2,3,3,4的众数是3。 
    但是,如果有两个或两个以上个数出现次数都是最多的,那么这几个数都是这组数据的众数。
    例如:1,2,2,3,3,4的众数是2和3。
    还有,如果所有数据出现的次数都一样,那么这组数据没有众数。
    例如:1,2,3,4,5没有众数。
    在高斯分布中,众数位于峰值。

    平均数、中位数和众数的特征:

    (1)平均数、中位数、众数都是表示一组数据“平均水平”的平均数。
    (2)平均数能充分利用数据提供的信息,在生活中较为常用,但它容易受极端数字的影响,且计算较繁。
    (3)中位数的优点是计算简单,受极端数字影响较小,但不能充分利用所有数字的信息。 中位数算出来可避免极端数据,代表着数据总体的中等情况。
    (4)众数的可靠性较差,它不受极端数据的影响,求法简便,当一组数据中个别数据变动较大时,适宜选择众数来表示这组数据的“集中趋势”。

  • 平均数、中位数和众数异同:
    一、相同点
    平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在:都是来描述数据集中趋势的统计量;都可用来反映数据的一般水平;都可用来作为一组数据的代表。

    二、不同点
    它们之间的区别,主要表现在以下方面。
    1、定义不同
    平均数:一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。
    中位数:将一组数据按大小顺序排列,处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。
    众数:在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。

    2、求法不同
    平均数:用所有数据相加的总和除以数据的个数,需要计算才得求出。
    中位数:将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列,如果数据个数是奇数,则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。它的求出不需或只需简单的计算。
    众数:一组数据中出现次数最多的那个数,不必计算就可求出。

    3、个数不同
    在一组数据中,平均数和中位数都具有惟一性,但众数有时不具有惟一性。在一组数据中,可能不止一个众数,也可能没有众数。

    4、呈现不同
    平均数:是一个“虚拟”的数,是通过计算得到的,它不是数据中的原始数据。
    中位数:是一个不完全“虚拟”的数。当一组数据有奇数个时,它就是该组数据排序后最中间的那个数据,是这组数据中真实存在的一个数据;但在数据个数为偶数的情况下,中位数是最中间两个数据的平均数,它不一定与这组数据中的某个数据相等,此时的中位数就是一个虚拟的数。
    众  数:是一组数据中的原数据 ,它是真实存在的。

    5、代表不同
    平均数:反映了一组数据的平均大小,常用来一代表数据的总体 “平均水平”。
    中位数:像一条分界线,将数据分成前半部分和后半部分,因此用来代表一组数据的“中等水平”。
    众数:反映了出现次数最多的数据,用来代表一组数据的“多数水平”。
    这三个统计量虽反映有所不同,但都可表示数据的集中趋势,都可作为数据一般水平的代表。

    6、特点不同
    平均数:与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺点是易受极端值的影响,这里的极端值是指偏大或偏小数,当出现偏大数时,平均数将会被抬高,当出现偏小数时,平均数会降低。
    中位数:与数据的排列位置有关,某些数据的变动对它没有影响;它是一组数据中间位置上的代表值,不受数据极端值的影响。
    众数:与数据出现的次数有关,着眼于对各数据出现的频率的考察,其大小只与这组数据中的部分数据有关,不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性,一组数据中可能会有一个众数,也可能会有多个或没有 。

    7、作用不同
    平均数:是统计中最常用的数据代表值,比较可靠和稳定,因为它与每一个数据都有关,反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情况,也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此,它在生活中应用最广泛,比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。
    中位数:作为一组数据的代表,可靠性比较差,因为它只利用了部分数据。但当一组数据的个别数据偏大或偏小时,用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。
    众数:作为一组数据的代表,可靠性也比较差,因为它也只利用了部分数据。。在一组数据中,如果个别数据有很大的变动,且某个数据出现的次数最多,此时用该数据(即众数)表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。

  • 中位数、众数的求法:
    中位数:
    ①将数据按大小顺序排列;
    ②当数据个数为奇数时,中间的那个数据就是中位数;
    当数据个数为偶数时,居于中间的两个数据的平均数才是中位数。

    众数:找出频数最多的数据,若几个数据频数最多且相同,此时众数就是这几个数据。

  • 考点名称:三角形的内心、外心、中心、重心

    • 三角形的四心定义:
      1、内心:三角形三条内角平分线的交点,即内切圆的圆心。
      内心是三角形角平分线交点的原理:经圆外一点作圆的两条切线,这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理:角平分线上点到角两边距离相等)。
      2、外心:是三角形三条边的垂直平分线的交点,即外接圆的圆心。
      外心定理:三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
      3、中心:三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心,当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心。
      4、重心:重心是三角形三边中线的交点。

    • 三角形的外心的性质:
      1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心;
      2三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合;
      3.锐角三角形的外心在三角形内;
      钝角三角形的外心在三角形外;
      直角三角形的外心与斜边的中点重合。

      在△ABC中
      4.OA=OB=OC=R
      5.∠BOC=2∠BAC,∠AOB=2∠ACB,∠COA=2∠CBA
      6.S△ABC=abc/4R

      三角形的内心的性质:
      1.三角形的三条角平分线交于一点,该点即为三角形的内心
      2.三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r
      3.r=2S/(a+b+c)
      4.在Rt△ABC中,∠C=90°,r=(a+b-c)/2.
      5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2
      6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)

      三角形的垂心的性质:
      1.锐角三角形的垂心在三角形内;
      直角三角形的垂心在直角顶点上;
      钝角三角形的垂心在三角形外。
      2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或
      者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

      例如在△ABC中
      3. 垂心O关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆圆上。
      4.△ABC中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且AO?OD=BO?OE=CO?OF
      5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
      6.△ABC,△ABO,△BCO,△ACO的外接圆是等圆。
      7.在非直角三角形中,过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则 AB/AP?tanB+ AC/AQ?tanC=tanA+tanB+tanC
      8.三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍。
      9.设O,H分别为△ABC的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA。
      10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
      11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中,以垂足三角形的周长最短。
      12.西姆松(Simson)定理(西姆松线):从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上
      13.设锐角△ABC内有一点P,那么P是垂心的充分必要条件是PB?PC?BC+PB?PA?AB+PA?PC?AC=AB?BC?CA。
      14.设H为非直角三角形的垂心,且D、E、F分别为H在BC,CA,AB上的射影,H1,H2,H3分别为△AEF,△BDF,△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3。
      15.三角形垂心H的垂足三角形的三边,分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

      三角形的重心的性质:
      1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
      2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
      3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
      4.在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);
      空间直角坐标系——横坐标:(X1+X2+X3)/3  纵坐标:(Y1+Y2+Y3)/3  竖坐标:(Z1+Z2+Z3)/3
      5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
      6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

      三角形旁心的性质:
      1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。
      2、每个三角形都有三个旁心。
      3、旁心到三边的距离相等。
      三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外。

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