题文

数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…+10=？ 经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n= 1 2 n（n+1），其中n为正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？ 观察下面三个特殊的等式： 1×2=n（1×2×3-0×1×2） 2×3=x（2×3×4-1×2×3） 3×4=n（3×4×5-2×3×4） 将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=20． 读完这段材料，请你计算： （1）1×2+2×3+…+100×101=______；（直接写出结果） （2）1×2+2×3+…+n（n+1）；（写出计算过程） （3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=______．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵1×2+2×3+3×4=m×3×4×5= 1 3 ×4×5=20， ∴1×2+2×3+…+100×101= 1 3 ×100×101×102=343400； （2）∵1×2=n（1×2×3-0×1×2）= 1 3 （1×2×3-0×1×2）， 2×3=x（2×3×4-1×2×3）= 1 3 （2×3×4-1×2×3）， 3×4=n（3×4×5-2×3×4）= 1 3 （3×4×5-2×3×4）， … n（n+1）= 1 3 [n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]， ∴1×2+2×3+…+n（n+1）= 1 3 [1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]， = 1 3 n（n+1）（n+2）； （3）根据（2）的计算方法，1×2×3=n（1×2×3×4-0×1×2×3）= 1 4 （1×2×3×4-0×1×2×3）， 2×3×4=x（2×3×4×5-1×2×3×4）= 1 4 （2×3×4×5-1×2×3×4）， … n（n+1）（n+2）= 1 4 [n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]， ∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）= 1 4 （1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+…+n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]， = 1 4 n（n+1）（n+2）（n+3）． 故答案为：（1）343400；（2） 1 3 n（n+1）（n+2）；（3） 1 4 n（n+1）（n+2）（n+3）．

据专家权威分析，试题“数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…+10=？经过研..”主要考查你对  探索规律  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

探索规律

考点名称：探索规律

• 探索规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
  掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键。
  （1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的规律；
  （2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题。

• 探索规律题题型和解题思路:
  1.探索条件型:结论明确,需要探索发现使结论成立的条件的题目;
  探索条件型往往是针对条件不充分、有变化或条件的发散性等情况，解答时要注意全面性，类似于讨论；解题应从结论着手，逆推其条件，或从反面论证，解题过程类似于分析法。
  
  2.探索结论型:给定条件,但无明确的结论或结论不唯一,而要探索发现与之相应的结论的题目;
  探索结论型题的特点是结论有多种可能，即它的结论是发散的、稳定的、隐蔽的和存在的；
  探索结论型题的一般解题思路是：
  （1）从特殊情形入手，发现一般性的结论；
  （2）在一般的情况下，证明猜想的正确性；
  （3）也可以通过图形操作验证结论的正确性或转化为几个熟悉的容易解决的问题逐个解决。
  3.探索规律型:在一定的条件状态下,需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目；
  图形运动题的关键是抓住图形的本质特征，并仿照原题进行证明。在探索递推时，往往从少到多，从简单到复杂，要通过比较和分析，找出每次变化过程中都具有规律性的东西和不易看清的图形变化部分。
  
  4.探索存在型:在一定的条件下,需探索发现某种数学关系是否存在的题目.而且探索题往往也是分类讨论型的习题,无论从解题的思路还是书写的格式都应该让学生明了基本的规范,这也是数学学习能力要求。
  探索存在型题的结论只有两种可能：存在或不存在；
  存在型问题的解题步骤是：
  ①假设存在；