题文

已知有限张卡片，每张卡片上各写有一个小于30的正数，所有卡片上数的和为1080．现将这些卡片按下列要求一批一批地取走（不放回）直至取完．首先从这些卡片中取出第一批卡片，其数字之和为S1，满足S1≤120，且S1要尽可能地大；然后在取出第一批卡片后，对余下的卡片按第一批的取卡要求构成第二批卡片（其数字之和为S2）；如此继续构成第三批（其数字之和为S3）；第四批（其数字之和为S4）；…直到第N批（其数字之和为SN）取完所有卡片为止． （1）判断S1，S2，…，SN的大小关系，并指出除第N批外，每批至少取走的卡片数为多少？ （2）当n=1，2，3，…，N-2时，求证：Sn＜ 960 n ； （3）对于任意满足条件的有限张卡片，证明：N≤11．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）对于任意满足条件的有限张卡片，满足S1≥S2≥…≥SN； 假设每批取出卡片不多于3张，则这3张卡片上的数之和不大于90，而剩下的每个数不大于30， 由已知条件知，应该选4张，与假设矛盾，除第N批外，每批至少取走的卡片数为4张． （2）证明：当取出第n批后，因为n=1，2，3，…，N-2，此时第n+1批卡片还没取完， 此时余下的每个数必大于120-Sn+1，余下数之和更大于120-Sn+1， 即1080-（S1+S2+…+Sn+1）＞120-Sn+1， 由此可得S1+S2+…+Sn＜960， 因为nSn≤S1+S2+…+Sn，从而Sn＜ 960 n ； （3）证明：假设N＞11，即第11批卡片取走后，还有卡片没被分完，由已知可知余下的每个数都大于120-S11， 且120-S11≥120-S10，故余下的每个数＞120-S11≥120-S10＞120- 960 10 =24， 因为第11组卡片中至少含有4张，所以第11组卡片上的所有数之和S11大于24×4=96，从而S10≥S11＞96， 这与（2）中的S10＜96矛盾，所以N≤11．

据专家权威分析，试题“已知有限张卡片，每张卡片上各写有一个小于30的正数，所有卡片上..”主要考查你对  探索规律  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

探索规律

考点名称：探索规律

• 探索规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
  掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键。
  （1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的规律；
  （2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题。

• 探索规律题题型和解题思路:
  1.探索条件型:结论明确,需要探索发现使结论成立的条件的题目;
  探索条件型往往是针对条件不充分、有变化或条件的发散性等情况，解答时要注意全面性，类似于讨论；解题应从结论着手，逆推其条件，或从反面论证，解题过程类似于分析法。
  
  2.探索结论型:给定条件,但无明确的结论或结论不唯一,而要探索发现与之相应的结论的题目;
  探索结论型题的特点是结论有多种可能，即它的结论是发散的、稳定的、隐蔽的和存在的；
  探索结论型题的一般解题思路是：
  （1）从特殊情形入手，发现一般性的结论；
  （2）在一般的情况下，证明猜想的正确性；
  （3）也可以通过图形操作验证结论的正确性或转化为几个熟悉的容易解决的问题逐个解决。
  3.探索规律型:在一定的条件状态下,需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目；
  图形运动题的关键是抓住图形的本质特征，并仿照原题进行证明。在探索递推时，往往从少到多，从简单到复杂，要通过比较和分析，找出每次变化过程中都具有规律性的东西和不易看清的图形变化部分。
  
  4.探索存在型:在一定的条件下,需探索发现某种数学关系是否存在的题目.而且探索题往往也是分类讨论型的习题,无论从解题的思路还是书写的格式都应该让学生明了基本的规范,这也是数学学习能力要求。
  探索存在型题的结论只有两种可能：存在或不存在；
  存在型问题的解题步骤是：
  ①假设存在；
  ②推理得出结论（若得出矛盾，则结论不存在；若不得出矛盾，则结论存在）。
   解答探索题型，必须在缜密审题的基础上，利用学具，按照要求在动态的过程中，通过归纳、想象、猜想，进行规律的探索，提出观点与看法，利用旧知识的迁移类比发现接替方法，或从特殊、简单的情况入手，寻找规律，找到接替方法；解答时要注意方程思想、函数思想、转化思想、分类讨论思想、数形结合思想在解题中的应用；因此其成果具有独创性、新颖性，其思维必须严格结合给定条件结论，培养了学生的发散思维，这也是数学综合应用的能力要求。