题文

已知：关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1． （1）若方程①的根为正整数，求整数k的值； （2）求代数式 (kc)2-b2+ab akc 的值； （3）求证：关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）由kx=x+2， 得（k-1）x=2． 依题意k-1≠0． ∴x= 2 k-1 ． ∵方程的根为正整数，k为整数， ∴k-1=1或k-1=2． ∴k1=2，k2=3． （2）依题意，二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点（1，0）， ∴0=a-b+kc， kc=b-a， ∵已知akc≠0， ∴b-a≠0， ∴ (kc)2-b2+ab akc = (b-a)2-b2+ab a(b-a) = b2-2ab+a2-b2+ab ab-a2 = a2-ab ab-a2 =-1， （3）证明：方程②的判别式为△=（-b）2-4ac=b2-4ac． 由a≠0，c≠0，得ac≠0． （i）若ac＜0，则-4ac＞0．故△=b2-4ac＞0． 此时方程②有两个不相等的实数根． （ii）证法一：若ac＞0，由（2）知a-b+kc=0， 故b=a+kc． △=b2-4ac=（a+kc）2-4ac =a2+2kac+（kc）2-4ac =a2-2kac+（kc）2+4kac-4ac =（a-kc）2+4ac（k-1） ∵方程kx=x+2的根为正实数， ∴方程（k-1）x=2的根为正实数． 由x＞0，2＞0，得k-1＞0． ∴4ac（k-1）＞0． ∵（a-kc）2≥0， ∴△=（a-kc）2+4ac（k-1）＞0． 此时方程②有两个不相等的实数根． 证法二：若ac＞0， ∵抛物线y=ax2-bx+kc与x轴有交点， ∴△1=（-b）2-4akc=b2-4akc≥0． （b2-4ac）-（b2-4akc）=4ac（k-1）． 由证法一知k-1＞0， ∴b2-4ac＞b2-4akc≥0． ∴△=b2-4ac＞0．此时方程②有两个不相等的实数根． 综上，方程②有两个不相等的实数根．

据专家权威分析，试题“已知：关于x的一元一次方程kx=x+2①的根为正实数，二次函数y=ax2-b..”主要考查你对  一元一次方程的解法，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元一次方程的解法一元二次方程根的判别式二次函数与一元二次方程

考点名称：一元一次方程的解法

• 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

• 解一元一次方程的注意事项：
  1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；
  2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号；
  3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；
  4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；
  5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号；
  6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法；
  7、分、小数运算时不能嫌麻烦；
  8、不要跳步，一步步仔细算 。

• 解一元一次方程的步骤：
  一般解法：
  ⒈去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（不含分母的项也要乘）；
  依据：等式的性质2
  ⒉ 去括号：一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，可根据 乘法分配律（记住如括号外有减号或除号的话一定要变号）
  依据：乘法分配律
  ⒊ 移项：把方程中含有 未知数的项都移到方程的一边（一般是含有未知数的项移到方程左边，而把常数项移到右边）
  依据：等式的性质1
  ⒋ 合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0）的形式；
  依据：乘法分配律（逆用乘法分配律）
  ⒌ 系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解
  依据：等式的性质2

  方程的同解原理 ：
  如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。
  ⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。
  ⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。　

  做一元一次方程应用题的重要方法：
  ⒈认真 审题（审题）　
  ⒉分析已知和未知量　
  ⒊找一个合适的 等量关系　
  ⒋设一个恰当的未知数 　
  ⒌列出合理的方程 （列式）　
  ⒍解出方程（解题） 　
  ⒎ 检验　
  ⒏写出答案（作答）

  例：ax=b（a、b为常数）?
  解：当a≠0，b=0时，
  ax=0
  x=0(此种情况与下一种一样)
  当a≠0时，x=b/a。
  当a=0，b=0时，方程有无数个解（注意：这种情况不属于一元一次方程，而属于恒等方程）
  当a=0，b≠0时，方程无解（此种情况也不属于一元一次方程）
  例：
  （3x+1)/2-2=(3x-2)/10-(2x+3)/5

  去分母（方程两边同乘各分母的最小 公倍数）得：
  5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3)
  去括号得：
  15x+5-20=3x-2-4x-6
  移项得：
  15x-3x+4x=-2-6-5+20
  合并同类项得：
  16x=7
  系数化为1得：
  x=7/16。

  注：字母公式（等式的性质）
  a=b a+c=b+c a-c=b-c （等式的性质1）
  a=b ac=bc
  a=bc(c≠0)= a÷c=b÷c（等式的性质2）
  检验 算出后需检验的。
  求根公式
  由于一元一次方程是 基本方程，教科书上的解法只有上述的方法。
  但对于标准形式下的一元一次方程 ax+b=0
  可得出求根公式x=-(b/a)

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。