题文

阅读下列材料，然后解答后面的问题． 我们知道方程2x+3y=12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．例：由2x+3y=12，得，（x、y为正整数）∴则有0＜x＜6．又为正整数，则为正整数． 由2与3互质，可知：x为3的倍数，从而x=3，代入． ∴2x+3y=12的正整数解为 问题： （1）请你写出方程2x+y=5的一组正整数解：　　； （2）若为自然数，则满足条件的x值有　　个； A．2 B．3 C．4 D．5 （3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）或． （2）C （3）有两种购买方案：即购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支； 或购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支．

试题分析：根据题意可知，求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解． 解： （1）由2x+y=5，得y=5﹣2x（x、y为正整数）． 所以，即0＜x＜ ∴当x=1时，y=3； 当x=2时，y=1． 即方程的正整数解是或．（只要写出其中的一组即可） （2）同样，若为自然数， 则有：0＜x﹣2≤6，即2＜x≤8． 当x=3时，； 当x=4时，； 当x=5时，； 当x=8时，． 即满足条件x的值有4个， 故选C． （3）设购买单价为3元的笔记本m本，单价为5元的钢笔n支． 则根据题意得：3m+5n=35，其中m、n均为自然数． 于是有：， 解得：， 所以0＜m＜． 由于n=7﹣m为正整数，则为正整数，可知m为5的倍数． ∴当m=5时，n=4； 当m=10时，n=1． 答：有两种购买方案：即购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支； 或购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支． 点评：解题关键是要读懂题目给出的已知条件，根据条件求解．注意笔记本和钢笔是整体，所有不可能出现小数和负数，这也就说要求的是正整数．

据专家权威分析，试题“阅读下列材料，然后解答后面的问题．我们知道方程2x+3y=12有无数组..”主要考查你对  二元一次方程组的定义，二元一次方程的定义，二元一次方程组的解法，二元一次方程组的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二元一次方程组的定义二元一次方程的定义二元一次方程组的解法二元一次方程组的应用

考点名称：二元一次方程组的定义

• 二元一次方程组：
  含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
  把两个含有相同未知数的一次方程联合在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。
  二元一次方程组的解：一般的，二元一次方程组的两个二元一次方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
  一般形式为：（其中a1，a2，b1，b2不同时为零）.

• 二元一次方程组的特点：
  1.组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数，如也是二元一次方程组。
  2.在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程合在一起。
  3.二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。
  4.二元一次方程组有时也由两个以上的方程组成。

• 二元一次方程与二元一次方程组的区别：
  

  	二元一次方程	二元一次方程组
  条件	①含有两个未知数； ②含未知数的项的次数都是1； ③整式方程。	①含有两个未知数； ②含未知数的项的次数都是1； ③整式方程组（可任意话说你有两个以上的方程）
  一般形式	ax+by=c(a、b、c都是常数，且a≠0，b≠0)	（a1，a2，b1，b2不同时为零）.
  解的情况	无数组解	或无数组解或有唯一解或无解
  解的定义	适合二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一组解	二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解

• 二元一次方程组的判定：
  ①方程组各方程中，相同的字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起.
  ②怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解.

考点名称：二元一次方程的定义

• 二元一次方程：
  如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解，若加条件限定有有限个解。二元一次方程组，则一般有一个解，有时没有解，有时有无数个解。
  二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0其中a、b不为零。
  二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解 。

• 二元一次方程的特点：
  1.在方程中“元”是指未知数，“二元”是指方程中有且只有两个未知数。
  2.未知数的项的次数是1，指的是含有未知数的项（单项式）的次数是1，如3xy的次数是2，所以方程3xy-2=0不是二元一次方程。