题文

方程组 x+y=5k x-y=9k 的解也是方程2x+3y=6的解，则k的值为______．

题型：填空题  难度：中档

答案

方程组解得：x=7k，y=-2k， 代入方程2x+3y=6得：14k-6k=6， 解得：k= 3 4 ． 故答案为： 3 4 ．

据专家权威分析，试题“方程组x+y=5kx-y=9k的解也是方程2x+3y=6的解，则k的值为______．-..”主要考查你对  二元一次方程组的解法，二元一次方程的解法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二元一次方程组的解法二元一次方程的解法

考点名称：二元一次方程组的解法

• 二元一次方程组的解：
  使二元一次方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，叫做方程组的解，即其解是一对数。

• 二元一次方程组解的情况：
  一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程，叫做解方程组。一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况：
  1、有一组解。如方程组:
  x+y=5①
  6x+13y=89②
  x=-24/7
  y=59/7 为方程组的解
  
  2、有无数组解。如方程组：
  x+y=6①
  2x+2y=12②
  因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。
  
  3、无解。如方程组：
  x+y=4①
  2x+2y=10②，
  因为方程②化简后为
  x+y=5
  这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
  
  可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组：
  ax+by=c
  dx+ey=f
  当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。
  当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。
  当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解。

• 二元一次方程组的解法：
  解方程的依据—等式性质
  1．a=b←→a+c=b+c
  2．a=b←→ac=bc (c>0)
  
  一、消元法
  1）代入消元法
  用代入消元法的一般步骤是：
  ①选一个系数比较简单的方程进行变形，变成 y = ax +b 或 x = ay + b的形式；
  ②将y = ax + b 或 x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；
  ③解这个一元一次方程，求出 x 或 y 值；
  ④将已求出的 x 或 y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或 x = ay + b），求出另一个未知数；
  ⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。
  例：解方程组 ：
       x+y=5①
  ｛
       6x+13y=89②
  解：由①得
  x=5-y③
  把③代入②，得
  6(5-y)+13y=89
  即 y=59/7
  把y=59/7代入③，得
  x=5-59/7
  即 x=-24/7
  ∴ x=-24/7
  y=59/7 为方程组的解
  我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。
  
  2）加减消元法
  用加减法消元的一般步骤为：
  ①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数；
  ②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），
  再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；
  ③解这个一元一次方程；
  ④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值；
  ⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。
  例：解方程组：
       x+y=9①
  ｛
       x-y=5②
  解：①+②
  2x=14
  即 x=7
  把x=7代入①，得
  7+y=9
  解，得：y=2
  ∴ x=7
  y=2 为方程组的解
  利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
  
  3）加减-代入混合使用的方法
  例：解方程组：
       13x+14y=41①
  ｛
       14x+13y=40 ②
  解：②-①得
  x-y=-1
  x=y-1 ③
  把③ 代入①得
  13(y-1)+14y=41
  13y-13+14y=41
  27y=54
  y=2
  把y=2代入③得
  x=1
  所以：x=1,y=2
  特点：两方程相加减，单个x或单个y，这样就适用接下来的代入消元。
  
  二、换元法
  例：解方程组：
     （x+5)+(y-4)=8
  ｛
     （x+5)-(y-4)=4
  令x+5=m,y-4=n
  原方程可写为
  m+n=8
  m-n=4
  解得m=6,n=2
  所以x+5=6,y-4=2
  所以x=1,y=6
  特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
  
  三、设参数法
  例：解方程组：
        x:y=1:4
  ｛
       5x+6y=29
  令x=t，y=4t
  方程2可写为：5t+6×4t=29
  29t=29
  t=1
  所以x=1，y=4
  
  四、图像法
  二元一次方程组还可以用做图像的方法，即将相应二元一次方程改写成一次函数的表达式在同坐标系内画出图像，
  两条直线的交点坐标即二元一次方程组的解。

考点名称：二元一次方程的解法

• 二元一次方程的解：
  使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

• 二元一次方程解法:
  二元一次方程有无数个解，除非题目中有特殊条件。
  一、消元法
  “消元”是解二元一次方程的基本思路。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
  如:5x+6y=7 2x+3y=4,变为5x+6y=7 4x+6y=8
  消元方法：
  代入消元法(常用）
  加减消元法（常用）
  顺序消元法（这种方法不常用）
  例：
      x-y=3 ①
  ｛
      3x-8y=4②
  由①得x=y+3③
  ③代入②得
  3（y+3)-8y=4
  y=1
  所以x=4
  则：这个二元一次方程组的解
      x=4
  ｛
      y=1

  (一)加减-代入混合使用的方法.
  例：
       13x+14y=41 ①
  ｛      
       14x+13y=40②
  ②-①得
  x-y=-1
  x=y-1 ③
  把③代入①得
  13(y-1)+14y=41
  13y-13+14y=41
  27y=54
  y=2
  把y=2代入③得
  x=1
  所以:x=1,y=2
  最后 x=1 ，y=2， 解出来
  特点：两方程相加减，得到单个x或单个y，适用接下来的代入消元。

  (二)代入法
  是二元一次方程的另一种方法，就是说把一个方程带入另一个方程中
  如：
  x+y=590
  y+20=90%x
  带入后就是：
  x+90%x-20=590
  (x+5)+(y-4)=8
  (x+5)-(y-4)=4
  令x+5=m,y-4=n
  原方程可写为
  m+n=8
  m-n=4
  解得m=6,n=2
  所以x+5=6,y-4=2
  所以x=1,y=6
  特点：两方程中都含有相同的代数式（x+5，y-4），换元后可简化方程。

  （三）另类换元
  例：
  x:y=1:4①
  5x+6y=29②
  令x=t,y=4t
  方程2可写为：5t+24t=29
  29t=29
  t=1
  所以x=1,y=4

  二、换元法
  解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
  换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
  它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
  如：
  (x+y)/2-(x-y)/3=6
  3(x+y)=4(x-y)
  解：
  设x+y为a,x-y为b
  原=a/2-b/3=6①
  3a=4b②
  ①×6 得3a-2b=36③
  把②代入③ 得2b=36 b=18
  把b=18代入②得a=24
  所以x+y=24④
  x-y=18⑤
  ④-⑤得 2y=6 y=3
  把y=3代入④得 x=21
  x=21，y=3
  是方程组的解
  
  整体代入
  如：
  2x+5y=15①
  85-7y=2x②
  解：把②代入①得
  85-7y+5y=15
  -2y=-70
  y=35
  把y=35代入②
  得x=-80
  x=-80，y=35
  是方程组的解

• 二元一次方程有两个正根的特点：
  二元一次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
  有两个正跟要满足下列3个条件
  1、保证有两个跟，即：△≥0，也就是b²