题文

某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板做成如图乙所示的A，B两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板140张，长方形纸板360张，刚好全部用完，问能做成多少个A型盒子？多少个B型盒子？ （1）根据题意，甲和乙两同学分别列出的方程组如下： 甲：；   乙：，根据两位同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义： 甲：x表示_________，y表示_________； 乙：x表示_________，y表示_________； （2）求出做成的A型盒子和B型盒子分别有多少个（写出完整的解答过程）？

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）仔细观察发现A型盒有长方形4个，正方形纸盒1个，故甲同学中的x表示A型纸盒个数，y表示B型盒的个数； 仔细观察发现B型盒有长方形3个，正方形纸盒2个，故甲同学中的x表示A型纸盒个数，y表示B型盒的个数； （2）设A型盒有x个，B型盒子有y个， 根据题意得： 解得： 答：A型盒有60个，B型盒子有40个．

据专家权威分析，试题“某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板做成如图乙所示的A，B两..”主要考查你对  二元一次方程组的应用，二元一次方程的解法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二元一次方程组的应用二元一次方程的解法

考点名称：二元一次方程组的应用

• 二元一次方程组应用中常见的相等关系：
  1． 行程问题（匀速运动）
  基本关系：s=vt
  ①相遇问题（同时出发）：
  确定行程过程中的位置路程
  相遇路程÷速度和=相遇时间
  相遇路程÷相遇时间= 速度和
  相遇问题（直线）
    甲的路程+乙的路程=总路程
  相遇问题（环形）
    甲的路程 +乙的路程=环形周长
  ②追及问题（同时出发）：
  追及时间＝路程差÷速度差  
  速度差＝路程差÷追及时间  
  追及时间×速度差＝路程差
  追及问题（直线）
  距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追及时间
  追及问题（环形）
  快的路程-慢的路程=曲线的周长
  ③水中航行
  顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间  
  逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间  
  顺水速度=船速＋水速  
  逆水速度＝船速－水速  
  静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2  
  水速：（顺水速度－逆水速度）÷2
  
  2．配料问题：溶质=溶液×浓度
  溶液=溶质+溶剂
  
  3．增长率问题
  
  4．工程问题
  基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看成单位“1”）。
  
  5．几何问题
  ①常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。
  ②注意语言与解析式的互化:
  如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、……
  又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。
  ③注意从语言叙述中写出相等关系：
  如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。
  ④注意单位换算:
  如，“小时”“分钟”的换算；s、v、t单位的一致等。

• 二元一次方程组的应用：
  列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。
  其具体步骤是：
  ⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
  ⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
  ⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
  ⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。
  ⑸解方程及检验。
  ⑹答案。
  综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。

考点名称：二元一次方程的解法

• 二元一次方程的解：
  使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

• 二元一次方程解法:
  二元一次方程有无数个解，除非题目中有特殊条件。
  一、消元法
  “消元”是解二元一次方程的基本思路。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
  如:5x+6y=7 2x+3y=4,变为5x+6y=7 4x+6y=8
  消元方法：
  代入消元法(常用）
  加减消元法（常用）
  顺序消元法（这种方法不常用）
  例：
      x-y=3 ①
  ｛
      3x-8y=4②
  由①得x=y+3③
  ③代入②得
  3（y+3)-8y=4
  y=1
  所以x=4
  则：这个二元一次方程组的解
      x=4
  ｛
      y=1

  (一)加减-代入混合使用的方法.
  例：
       13x+14y=41 ①
  ｛      
       14x+13y=40②
  ②-①得
  x-y=-1
  x=y-1 ③
  把③代入①得
  13(y-1)+14y=41
  13y-13+14y=41
  27y=54
  y=2
  把y=2代入③得
  x=1
  所以:x=1,y=2
  最后 x=1 ，y=2， 解出来
  特点：两方程相加减，得到单个x或单个y，适用接下来的代入消元。

  (二)代入法
  是二元一次方程的另一种方法，就是说把一个方程带入另一个方程中
  如：
  x+y=590
  y+20=90%x
  带入后就是：
  x+90%x-20=590
  (x+5)+(y-4)=8
  (x+5)-(y-4)=4
  令x+5=m,y-4=n
  原方程可写为
  m+n=8
  m-n=4
  解得m=6,n=2
  所以x+5=6,y-4=2
  所以x=1,y=6
  特点：两方程中都含有相同的代数式（x+5，y-4），换元后可简化方程。

  （三）另类换元
  例：
  x:y=1:4①
  5x+6y=29②
  令x=t,y=4t
  方程2可写为：5t+24t=29
  29t=29
  t=1
  所以x=1,y=4

  二、换元法
  解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
  换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
  它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
  如：
  (x+y)/2-(x-y)/3=6
  3(x+y)=4(x-y)
  解：
  设x+y为a,x-y为b
  原=a/2-b/3=6①
  3a=4b②
  ①×6 得3a-2b=36③
  把②代入③ 得2b=36 b=18
  把b=18代入②得a=24
  所以x+y=24④
  x-y=18⑤
  ④-⑤得 2y=6 y=3
  把y=3代入④得 x=21
  x=21，y=3
  是方程组的解
  
  整体代入
  如：
  2x+5y=15①
  85-7y=2x②
  解：把②代入①得
  85-7y+5y=15
  -2y=-70
  y=35
  把y=35代入②
  得x=-80
  x=-80，y=35
  是方程组的解

• 二元一次方程有两个正根的特点：
  二元一次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
  有两个正跟要满足下列3个条件
  1、保证有两个跟，即：△≥0，也就是b²-4ac≥0
  2、x¹+x²＞0，即 —b/a＞0
  3、x¹×x²＞0，即c/a＞0
  然后根据所给的条件在求出题目中要求的某些字母的值
  
  二元一次方程整数解存在的条件：
  在整系数方程ax+by=c中，
  若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即
  如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解
  显然a,b互质时一定有整数解。
  例如方程
  3x+5y=1,　
  5x-2y=7,　
  9x+3y=6都有整数解。
  返过来也成立，方程
  9x+3y=10和
  4x-2y=1都没有整数解，
  ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；
  （4，2）＝2，而2不能整除1。
  一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。
  
  二元一次方程整数解的方法：
  ①首先用一个未知数表示另一个未知数,如y=10-2x；
  ②给定x一个值,求y的一个对应值，就可以得到二元一次方程的一组解；
  ③根据提议对未知数x、y做出限制，确定x的可能取值，确定二元一次方程所有的整数解。