题文

某农户家有900棵良种柑桔树．2006年收获时，在柑桔树林中先随机采摘了四次进行统计，得到数据如下表（单位：千克）： 采摘的次数 第一次采摘 第二次采摘 第三次采摘 第四次采摘 每次采摘的柑桔树的棵数 2 4 3 3 平均每棵柑桔树上柑桔的重量 17 14 18 16 （1）根据样本平均数估计该农户2006年的柑桔的总产量约是多少千克？ （2）若市场上良种柑桔售价为每千克3元，则该农户2006年卖柑桔的收入将达多少元？ （3）已知该农户2004年卖柑桔的收入为30000元，根据以上估算，试求卖柑桔收入的年平均增长率？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）样本平均数为 17×2+14×4+18×3+16×3 2+4+3+3 =16kg， ∴这年的柑桔的总产量为16×900=14400kg； （2）该农户这年卖柑桔的收入将达3×14400=43200元； （3）设该农户卖柑桔收入的年平均增长率为x，依题意得： 30000（1+x）2=43200． 解之，得x1=20%，x2=-2.2（舍去）． 答：该农户卖柑桔收入的年平均增长率为20%．

据专家权威分析，试题“某农户家有900棵良种柑桔树．2006年收获时，在柑桔树林中先随机采..”主要考查你对  二元一次方程的应用，平均数，用样本估算总体  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二元一次方程的应用平均数用样本估算总体

考点名称：二元一次方程的应用

• 定义的应用，判定一个方程是否是二元一次方程；求方程的未知系数及解应用题。

• 列二元一次方程组解应用题的一般步骤:
  可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：
  （1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；
  （2）找：找出能够表示题意两个相等关系；
  （3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；
  （4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；
  （5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.
  
  常见问题及解决:
  一、数字问题:
  例:一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．
  分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系表示为:
  因此，所求的两位数是14．
  点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x的方程．一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之．
  
  二、利润问题：
  商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价．
  利润的计算一般有两种方法：
  ①利润=卖出价-进价；
  ②利润=进价×利润率（盈利百分数）。
  特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念。
  
  三、配套问题：
  产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：
  ①“二合一”问题：如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，
  那么甲产品数的ｂ倍等于乙产品数的ａ倍，即：；
  ②“三合一”问题：如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，
  那么各种产品数应满足的相等关系式是： 。
  
  四、行程问题：
  “相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：
  “相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；
  “同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离。
  
  五、货运问题：
  由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度．化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等。
  
  六、工程问题：
  工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即
  “工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式：
  “工作时间=工作量÷工作效率，
  工作效率=工作量÷工作时间”。
  其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量。
  

考点名称：平均数

• 平均数：
  是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标。
  解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数。
  在统计工作中，平均数(均值)和标准差是描述数据资料集中趋势和离散程度的两个最重要的测度值。

• 平均数的分类:
  （1）算术平均数：一般地，如果有n个数 ，那么 ，叫做这n个数的算术平均数。
  （2）加权平均数：一组数据点的权分别为，那么称为这n个数的加权平均数。
  （3）样本平均数：样本中所有个体的平均数。
  （4）总体平均数：总体中所有个体的平均数，统计学中常用样本的平均数估计总体的平均数。

• 平均数、中位数和众数关系:
  联系:
           平均数、中位数和众数都是来刻画数据平均水平的统计量，它们各有特点。对于平均数大家比较熟悉，中位数刻画了一组数据的中等水平，众数刻画了一组数据中出现次数最多的情况。
          平均数非常明显的优点之一是，它能够利用所有数据的特征，而且比较好算。另外，在数学上，平均数是使误差平方和达到最小的统计量，也就是说利用平均数代表数据，可以使二次损失最小。因此，平均数在数学中是一个常用的统计量。但是平均数也有不足之处，正是因为它利用了所有数据的信息，平均数容易受极端数据的影响。
           例如，在一个单位里，如果经理和副经理工资特别高，就会使得这个单位所有成员工资的平均水平也表现得很高，但事实上，除去经理和副经理之外，剩余所有人的平均工资并不是很高。这时，中位数和众数可能是刻画这个单位所有人员工资平均水平更合理的统计量。
          中位数和众数这两个统计量的特点都是能够避免极端数据，但缺点是没有完全利用数据所反映出来的信息。
          由于各个统计量有各自的特征，所以需要我们根据实际问题来选择合适的统计量。
          当然，出现极端数据不一定用中位数，一般，统计上有一个方法，就要认为这个数据不是来源于这个总体的，因而把这个数据去掉。比如大家熟悉的跳水比赛评分，为什么要去掉一个最高分、一个最低分呢，就认为这两个分不是来源于这个总体，不能代表裁判的鉴赏力。于是去掉以后再求剩下数据的平均数。需要指出的是，我们处理的数据，大部分是对称的数据，数据符合或者近似符合正态分布。这时候，均值(平均数)、中位数和众数是一样的。

  区别:
          只有在数据分布偏态(不对称)的情况下，才会出现均值、中位数和众数的区别。所以说，如果是正态的话，用哪个统计量都行。如果偏态的情况特别严重的话，可以用中位数。
           除了需要刻画平均水平的统计量，统计中还有刻画数据波动情况的统计量。比如，平均数同样是5，它所代表的数据可能是1、3、5、7、9，可能是4、4.5、5、5.5、6。也就是说5所代表的不同组数据的波动情况是不一样的。怎样刻画数据的波动情况呢?很自然的想法就是用最大值减最小值，即求一组数据的极差。数学中还有方差、标准差等许多用来刻画数据特征的统计量。当然这些都是教师感兴趣、值得了解的内容，不是小学数学的教学要求。

• 平均数的求法：
  （1）公式法： ；
  （2）加权平均数公式： 。
  

考点名称：用样本估算总体

• 用样本估计总体的两个手段：
  （1）用样本的频率分布估计总体的分布；
  （2）用样本的数字特征估计总体的数字特征，需要从总体中抽取一个质量较高的样本，才能不会产生较大的估计偏差，且样本的容量越大，估计的结果也就越精确。