题文

已知下列命题 ①若 (1-m)2 =m-1，则m≥1；②平分弦的直径垂直于弦；③若a＞b，则a+c＞b+c；④若a＞b，则a2＞ab 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

题型：单选题  难度：中档

答案

①原命题正确，其逆命题正确，故符合题意； ②原命题错误，应强调该弦非直径，但其逆命题正确，故不符合题意； ③原命题和逆命题都正确，故符合题意； ④原命题和逆命题都错误，故不符合题意． 故选B．

据专家权威分析，试题“已知下列命题①若(1-m)2=m-1，则m≥1；②平分弦的直径垂直于弦；③若..”主要考查你对  不等式的性质，二次根式的定义，垂直于直径的弦，命题，定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

不等式的性质二次根式的定义垂直于直径的弦命题，定理

考点名称：不等式的性质

• 不等式的性质：
  1、不等式的基本性质:
  不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。即如果a>b，那么a±c>b±c。
  不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。即如果a>b，c>0，那么ac>bc（或）。
  
  不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。即如果a>b，c<0，那么ac<bc（或）。
  2、不等式的互逆性：若a>b，则b<a。
  3、不等式的传递性：若a>b，b>c，则a>c。

• 不等式的性质：
  ①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）
  ②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）
  ③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）
  ④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）
  ⑤如果x>y，z>0，那么x÷z>y÷z；如果x>y，z<0，那么x÷z<y÷z；
  ⑥如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)
  ⑦如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；
  ⑧如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n次幂<y的n次幂（n为负数）
  
  或者说，不等式的基本性质有：
  ①对称性；
  ②传递性：
  ③加法单调性：即同向不等式可加性：
  ④乘法单调性：
  ⑤同向正值不等式可乘性：
  ⑥正值不等式可乘方：
  ⑦正值不等式可开方：
  ⑧倒数法则。

• 不等式的基本性质和等式的基本性质的异同：
  ①相同点：无论是等式还是不等式，都可以在它的两边加（或减）同一个数或同一个整式；
  ②不同点：对于等式来说，在等式的两边乘（或除以）同一个正数（或同一个负数），等式仍然成立，但是对于不等式来说，却不大一样，在不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，而在不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号要改变方向。

• 原理：
  ①不等式F（x）< G（x）与不等式 G（x）>F（x）同解。
  ②如果不等式F（x） < G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）<G（x）与不等式F（x）+H（x）<G（x）+H（x）同解。
  ③如果不等式F（x）<G（x） 的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）>0，那么不等式F(x)<G（x）与不等式H（x）F（x）<H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）<0，那么不等式F（x）<G（x）与不等式H (x)F（x）>H（x）G（x）同解。
  ④不等式F（x）G（x）>0与不等式同解；不等式F（x）G（x）<0与不等式同解。

考点名称：二次根式的定义

• 二次根式:
  我们把形如叫做二次根式。
  二次根式必须满足：
  含有二次根号“”；
  被开方数a必须是非负数。
  
  确定二次根式中被开方数的取值范围：
  要是二次根式有意义，被开方数a必须是非负数，即a≥0，由此可确定被开方数中字母的取值范围。

• 二次根式性质：
  （1）a≥0 ； ≥0 （双重非负性 )；
  
  （2）；
  
  （3）
                              0(a=0);
  
  （4）；
  
  （5）。

• 二次根式判定：
  ①二次根式必须有二次根号，如，等；
  ②二次根式中，被开方数a可以是具体的一个数，也可以是代数式；
  ③二次根式定义中a≥0 是定义组成的一部分,不能省略;
  ④二次根式是一个非负数;
  ⑤二次根式与算术平方根有着内在的联系,(a≥0 )就表示a的算术平方根。
  
  二次根式的应用：
  主要体现在两个方面：
  （1）利用从特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；
  （2）利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。

考点名称：垂直于直径的弦

• 垂径定理：
  垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
  注：
  （1）定理中的直径过圆心即可，可以是直径、半径、过圆心的直线或线段；
  （2）此定理是证明等线段、等角、垂直的主要依据，同时也为圆的有关计算提供了方法和依据。
  
  垂径定理的推论：
  推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
  推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
  推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
  推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
  推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
  (证明时的理论依据就是上面的五条定理)
  但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:

  一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论
  1.平分弦所对的优弧
  2.平分弦所对的劣弧
  （前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）
  3.平分弦 (不是直径)
  4.垂直于弦
  5.经过圆心

考点名称：命题，定理

• 命题的概念：
  判断一件事情的语句，叫做命题。
  命题的概念包括两层含义：
  （1）命题必须是个完整的句子；
  （2）这个句子必须对某件事情做出判断。
  
  公理：
  人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
  
  定理：
  通过真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过受逻辑限制的演绎推导，证明为正确的结论的命题或公式，例如“平行四边形的对边相等”就是平面几何中的一个定理。
  一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理，证明定理是数学的中心活动。相信为真但未被证明的数学叙述为猜想，当它被证明为真后便是定理。它是定理的来源，但并非唯一来源。一个从其他定理引伸出来的数学叙述，可以不经过证明成为猜想的过程，成为定理。
  如上所述，定理需要某些逻辑框架，继而形成一套公理（公理系统）。同时，一个推理的过程，容许从公理中引出新定理和其他之前发现的定理。
  在命题逻辑中，所有已证明的叙述都称为定理。
  
  经过长期实践后公认为正确的命题叫做公理，用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

• 命题的分类：
  （按正确、错误与否分）分为真命题（正确的命题），假命题（错误的命题），
  所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
  所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

  四种命题：
  1．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。
  2．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的否命题。
  3．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题。
  
  相互关系：
  1．四种命题的相互关系：原命题与逆命题互逆，否命题与原命题互否，原命题与逆否命题相互逆否，逆命题与否命题相互逆否，逆命题与逆否命题互否，逆否命题与否命题互逆。
  2．四种命题的真假关系：
  ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
  ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系(原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假）

  定理结构：
  定理一般都有一个设定——一大堆条件。然后它有结论——一个在条件下成立的数学叙述。
  通常写作「若条件，则结论」。用符号逻辑来写就是条件→结论。而当中的证明不视为定理的成分。
  逆定理：
  若存在某叙述为A→B，其逆叙述就是B→A。逆叙述成立的情况是A←→B，否则通常都是倒果为因，不合常理。若某叙述是定理，其成立的逆叙述就是逆定理。
  若某叙述和其逆叙述都为真，条件必要且充足。 若某叙述为真，其逆叙述为假，条件充足。 若某叙述为假，其逆叙述为真，条件必要。

• 常用数学定理：
  1、每份数×份数=总数
  总数÷每份数=份数
  总数÷份数=每份数
  2、1倍数×倍数=几倍数
  几倍数÷1倍数=倍数
  几倍数÷倍数=1倍数
  3、速度×时间=路程
  路程÷速度=时间
  路程÷时间=速度
  4、单价×数量=总价
  总价÷单价=数量
  总价÷数量=单价
  5 、工作效率×工作时间=工作总量
  工作总量÷工作效率=工作时间
  工作总量÷工作时间=工作效率
  6 、加数+加数=和
  和－一个加数=另一个加数
  7 、被减数－减数=差
  被减数－差=减数
  差+减数=被减数
  8 、因数×因数=积
  积÷一个因数=另一个因数
  9、 被除数÷除数=商
  被除数÷商=除数
  商×除数=被除数

  小学数学图形计算公式：
  1 、正方形 C周长 S面积 a边长
  周长=边长×4 ；C=4a;
  面积=边长×边长； S=a×a
  2 、正方体 V:体积 a:棱长
  表面积=棱长×棱长×6； S棱=a×a×6 ；
  体积=棱长×棱长×棱长； V=a×a×a
  3、 长方形 C周长 S面积 a边长
  周长=(长+宽)×2 ；C=2(a+b) ；
  面积=长×宽 ；S=ab
  4 、长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 c:高
  表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2； S=2(ab+bc+ca)；
  体积=长×宽×高 ；V=abc
  5、 三角形 s面积 a底 h高
  面积=底×高÷2 ；s=ah÷2
  三角形高=面积 ×2÷底
  三角形底=面积 ×2÷高
  6、 平行四边形 s面积 a底 h高
  面积=底×高 s=ah
  7、 梯形 s面积 a上底 b下底 h高
  面积=(上底+下底)×高÷2；s=(a+b)× h÷2
  8、 圆形 S面积 C周长 ∏ d=直径 r=半径
  周长=直径×∏=2×∏×半径； C=∏d=2∏r ；
  面积=半径×半径×∏
  9、 圆柱体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长
  侧面积=底面周长×高；
  表面积=侧面积+底面积×2 ；
  体积=底面积×高 ；
  体积=侧面积÷2×半径
  10、 圆锥体 v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径
  体积=底面积×高÷3