题文

问题提出：    我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小. 而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”：就是通过作差、变形. 并利用差的符号来确定它们的大小，即耍比较代数式 M、N的大小，只要作出它们的差M-N，若M-N>0，则M>N；若M-N=0，则M=N；若M-N<0；则 M<N.     问题解决：     如图①.把边长为 a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是 a、b 的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形的面积之和 M与两个矩形面积之和N 的大小.类比应用： (1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克、元/千克(a·b是正数.且a≠b)，试比较小丽和小颖所购商品的平均价格的高低.    (2)试比技图②、图③两个矩形的周长 M, 、N, 的大小(b>c).

题型：探究题  难度：偏难

答案

解： 由因可知，M=a2 +b2，N=2ab， ∴M-N= a2 +b2 -2ab- (a-b)2     ∴a≠b ∴(a-b)2>0，..M-N>0， ∴M>N 类比应用： (1) ∵a，b是正数，且 a≠b，     即小丽的平均价格比小额的高.     (2)由图知，M1= 2(a+b+b+c)=2a +4b+2c , N1 = 2 (a - c+ b+ 3c) = 2a+ 2b+4c.     M1 - N1 = (2a+ 4b+ 2c) - (2a + 2b+ 4c) =2b- 2c=2 (b- c)      ∵ b> c, ∴ 2 ( b - c) > 0, M1 - N1> 0 , M1>N1.     所以第一个矩形的周长大于第二个矩形的周长.     联系拓广     设题中图⑤的捆绑绳长为 l1， 则l1 = 2a×2+2b×2+ 4c×2 = 4a + 4b+ 8c     设题中图⑥的捆绑绳长为 l2， 则 l2 =2a×2+2b×2 + 2c×2= 4a+ 4b+ 4c     设题中图⑦的捆绑绳长为 l3，则 13 = 3a×2+2b×2+ 3c×2= 6a+ 4b+ 6c     l1 - l2 = ( 4a + 4b + 8c) - ( 4a + 4b + 4c ) =4c>0     ∴l1> l2 .     l2 - l3 = ( 6a+4b+ 6c) - (4a + 4b+ 4c)= 2a +2c>0     ∴l3>12.     l3 - l1= (6a+4b+ 6c) - (4a + 4b+ 8c) = 2a -2c = 2(a-c)     ∴a>c， ∴2(a-c)>0 即 13-l1>0，l3>l1      ∴第三种捆绑方法用绳最长. 第二种最短.

据专家权威分析，试题“问题提出：我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数..”主要考查你对  一元一次不等式的解法，整式的加减乘除混合运算  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元一次不等式的解法整式的加减乘除混合运算

考点名称：一元一次不等式的解法

• 一元一次不等式的解集：
  一个有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如﹕
  不等式x-5≤-1的解集为x≤4；
  不等式x﹥0的解集是所有正实数。
  
  求不等式解集的过程叫做解不等式。
  将不等式化为ax>b的形式
  (1)若a>0，则解集为x>b/a
  (2)若a<0，则解集为x<b/a

  一元一次不等式的特殊解：
  不等式的解集一般是一个取值范围，但有时需要求未知数的某些特殊解，如求正数解、整数解、最大整数解等，解答这类问题关键是明确解的特征。

• 不等式的解与解集：
  不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。如x=1是x+2>1的解
  ①不等式的解是指某一范围内的某个数，用它来代替不等式中的未知数，不等式成立。
  ②要判断某个未知数的值是不是不等式的解，可直接将该值代入等式的左、右两边，看不等式是否成立，若成立，则是；否则不是。
  ③一般地，一个不等式的解不止一个，往往有无数个，如所有大于3的数都是x>3的解，但也存在特殊情况，如|x|≦0，就只有一个解，为x=0
  
  不等式的解集和不等式的解是两个不同的概念。
  ①不等式的解集一般是一个取值范围，在这个范围内的每一个数值都是不等式的一个解，不等式一般有无数个解。
  ②不等式的解集包含两方面的意思：
  解集中的任何一个数值，都能使不等式成立；解集外的任何一个数值，都不能使不等式成立。（即不等式不成立）
  ③不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，如不等式x-1<2的解集是x<3,可以用数轴上表示3的点左边部分来表示，在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈，表示不包括这一点。

• 一元一次不等式的解法：
  解一元一次不等式与解一元一次方程的方法步骤类似，只是在利用不等式基本性质3对不等式进行变形时，要改变不等式的符号。
  有两种解题思路：
  （1）可以利用不等式的基本性质，设法将未知数保留在不等式的一边，其他项在另一边；
  （2）采用解一元一次方程的解题步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤。 
  
  解一元一次不等式的一般顺序：
  （1）去分母 （运用不等式性质2、3） 　　
  （2）去括号 　　
  （3）移项 （运用不等式性质1） 　　
  （4）合并同类项。 　　
  （5）将未知数的系数化为1 （运用不等式性质2、3） 　　
  （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集
   
  不等式解集的表示方法：
  （1） 用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来。
  例如：x-1≤2的解集是x≤3。 　　
  （2） 用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等式有无限多个解。
  用数轴表示不等式的解集要注意两点：一是定边界线；二是定方向。

考点名称：整式的加减乘除混合运算

• 加法、减法、乘法和除法，统称为四则运算。
  其中，加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。
  注意运算顺序，先做乘方，再做乘除，最做加减运算，如果有同类项，就合并同类项，要求结果必须是最简形式。

• 基本运算顺序：
  只有一级运算时，从左到右计算；
  有两级运算时，先乘除,后加减。
  有括号时，先算括号里的；
  有多层括号时，先算小括号里的。
  要是有平方，先算平方。
  在混合运算中，先算括号内的数，括号从小到大，然后从高级到低级。