题文

某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．（1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？ （2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2700000元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有哪几种购买方案？ （3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元， 由题意得：， 解得：． 答：购买1块电子白板需要15000元，一台笔记本电脑需要4000元． （2）设购买购买电子白板a块，则购买笔记本电脑（396﹣a）台，由题意得：， 解得：99≤a≤101， ∵a为正数， ∴a=99，100，101， 则电脑依次买：297台，296台，295台． 因此该校有三种购买方案：方案一：购买笔记本电脑295台，则购买电子白板101块； 方案二：购买笔记本电脑296台，则购买电子白板100块； 方案一：购买笔记本电脑297台，则购买电子白板99块． （3）解法一：购买笔记本电脑和电子白板的总费用为： 方案一：295×4000+101×15000=2695000（元） 方案一：296×4000+100×15000=2684000（元） 方案一：297×4000+99×15000=2673000（元） 因此，方案三最省钱，按这种方案共需费用2673000元． 解法二：设购买笔记本电脑数为z台，购买笔记本电脑和电子白板的总费用为W元， 则W=4000z+15000（396﹣z）=﹣11000z+5940000， ∵W随z的增大而减小，∴当z=297时，W有最小值=2673000（元） 因此，当购买笔记本电脑297台、购买电子白板99块时，最省钱，这时共需费用2673000元．

据专家权威分析，试题“某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑..”主要考查你对  一元一次不等式组的解法，二元一次方程组的解法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元一次不等式组的解法二元一次方程组的解法

考点名称：一元一次不等式组的解法

• 一元一次不等式组解集：
  一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。
  注：当任何数x都不能使各个不等式同时成立，我们就说这个一元一次不等式组无解或其解集为空集。
  例如：
  不等式x-5≤-1的解集为x≤4；
  不等式x﹥0的解集是所有非零实数。
  解法：求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

• 求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被两条不等式解集的区域都覆盖的部分；
  一般由两个一元一次不等式组成的不等式组由四种基本类型确定，它们的解集、数轴表示如下表：（设a<b）
  

• 一元一次不等式组的解答步骤：
  （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；
  （2）将这些不等式的解集在同一个数轴上表示出来，找出它们的的公共部分；
  （3）根据找出的公共部分写出不等式组的解集，若没有公共部分，说明不等式组无解。
  
  解法诀窍：
  同大取大 ；
  例如：
  X>-1
  X>2
  不等式组的解集是X>2
  
  同小取小；
  例如：
  X<-4
  X<-6
  不等式组的解集是X<-6
  
  大小小大中间找；
  例如，
  x<2,x>1,不等式组的解集是1<x<2
  
  大大小小不用找
  例如，
  x<2,x>3，不等式组无解

• 一元一次不等式组的整数解：
  一元一次不等式组的整数解是指在不等式组中各个不等式的解集中满足整数条件的解的公共部分。
  求一元一次不等式组的整数解的一般步骤：先求出不等式组的解集，再从解集中找出所有整数解，其中要注意整数解的取值范围不要搞错。
  例如
  
  
  
  所以原不等式的整数解为1，2。
  

考点名称：二元一次方程组的解法

• 二元一次方程组的解：
  使二元一次方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，叫做方程组的解，即其解是一对数。

• 二元一次方程组解的情况：
  一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程，叫做解方程组。一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况：
  1、有一组解。如方程组:
  x+y=5①
  6x+13y=89②
  x=-24/7
  y=59/7 为方程组的解
  
  2、有无数组解。如方程组：
  x+y=6①
  2x+2y=12②
  因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。
  
  3、无解。如方程组：
  x+y=4①
  2x+2y=10②，
  因为方程②化简后为
  x+y=5
  这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
  
  可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组：
  ax+by=c
  dx+ey=f
  当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。
  当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。
  当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解。

• 二元一次方程组的解法：
  解方程的依据—等式性质
  1．a=b←→a+c=b+c
  2．a=b←→ac=bc (c>0)
  
  一、消元法
  1）代入消元法
  用代入消元法的一般步骤是：
  ①选一个系数比较简单的方程进行变形，变成 y = ax +b 或 x = ay + b的形式；
  ②将y = ax + b 或 x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；
  ③解这个一元一次方程，求出 x 或 y 值；
  ④将已求出的 x 或 y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或 x = ay + b），求出另一个未知数；
  ⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。
  例：解方程组 ：
       x+y=5①
  ｛
       6x+13y=89②
  解：由①得
  x=5-y③
  把③代入②，得
  6(5-y)+13y=89
  即 y=59/7
  把y=59/7代入③，得
  x=5-59/7
  即 x=-24/7
  ∴ x=-24/7
  y=59/7 为方程组的解
  我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。
  
  2）加减消元法
  用加减法消元的一般步骤为：
  ①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数；
  ②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），
  再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；
  ③解这个一元一次方程；
  ④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值；
  ⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。
  例：解方程组：
       x+y=9①
  ｛
       x-y=5②
  解：①+②
  2x=14
  即 x=7
  把x=7代入①，得
  7+y=9
  解，得：y=2
  ∴ x=7
  y=2 为方程组的解
  利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
  
  3）加减-代入混合使用的方法
  例：解方程组：
       13x+14y=41①
  ｛
       14x+13y=40 ②
  解：②-①得
  x-y=-1
  x=y-1 ③
  把③ 代入①得
  13(y-1)+14y=41
  13y-13+14y=41
  27y=54
  y=2
  把y=2代入③得
  x=1
  所以：x=1,y=2
  特点：两方程相加减，单个x或单个y，这样就适用接下来的代入消元。
  
  二、换元法
  例：解方程组：
     （x+5)+(y-4)=8
  ｛
     （x+5)-(y-4)=4
  令x+5=m,y-4=n
  原方程可写为
  m+n=8
  m-n=4
  解得m=6,n=2
  所以x+5=6,y-4=2
  所以x=1,y=6
  特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
  
  三、设参数法
  例：解方程组：
        x:y=1:4
  ｛
       5x+6y=29
  令x=t，y=4t
  方程2可写为：5t+6×4t=29
  29t=29
  t=1
  所以x=1，y=4
  
  四、图像法
  二元一次方程组还可以用做图像的方法，即将相应二元一次方程改写成一次函数的表达式在同坐标系内画出图像，
  两条直线的交点坐标即二元一次方程组的解。